Considere a cônica cuja equação geral padrão em coordenadas cartesianas (x, y) é dada por
5 y^2-6 x-3 x^2-10 y-13=0
(a) Identifique a cônica (diga se é elipse, parábola, hipérbole, um ponto ou duas retas);
(b) Determine o (os) foco (focos) desta cônica.

Passo 1

O enunciado dá a cônica
5y^2-6x-3x^2-10y-13=0
e pede (a) sua classificação e (b) o(s) foco(s).
O conteúdo necessário é completar o quadrado para reduzir à forma canônica de cônicas e então identificar parâmetros ( a, b, c).

Passo 2

Reescrevemos coletando termos em x e em y:
-3x^2-6x ;+;5y^2-10y ;-;13 ;=;0
Colocamos coeficientes fatorados:
-3l(x^2+2xr);+;5l(y^2-2yr);-;13=0

Passo 3

Agora completamos quadrados dentro dos parênteses:
x^2+2x = (x+1)^2-1, y^2-2y = (y-1)^2-1
Substituindo:
-3l((x+1)^2-1r)+5l((y-1)^2-1r)-13=0
-3(x+1)^2+3 +5(y-1)^2-5 -13=0
-3(x+1)^2+5(y-1)^2-15=0

Passo 4

Isolando o lado direito e dividindo por 15,
5(y-1)^2-3(x+1)^2=15 Longrightarrow (y-1)^23-(x+1)^25=1
Essa é a forma de uma hipérbole com termo positivo em y, logo é hipérbole com eixo transverso vertical.

Passo 5

Na forma
(y-k)^2a^2 - (x-h)^2b^2 = 1
temos
(h,k)=(-1,1), a^2=3, b^2=5
Para hipérbole, c^2=a^2+b^2=3+5=8, logo c=raiz8=2raiz2.

Passo 6

Os focos de hipérbole vertical são
(h,,kpm c) = l(-1,,1pm 2raiz2r)

Resposta

(a) Hipérbole.
(b) Focos em l(-1,,1+2raiz2r) e l(-1,,1-2raiz2r).

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