Sejam O x e O y eixos obtidos através de uma rotação, no sentido anti-horário e num ângulo de 45 graus, dos eixos cartesianos Ox e Oy respectivamente. Considere a cônica cuja a equação cartesiana é dada em coordenadas (
por
(a) Escreva a equação cartesiana desta cônica em coordenadas cartesianas
na forma
(b) Quais os focos dessa cônica em coordenadas cartesianas
?
Passo 1
O enunciado apresenta uma hipérbole de equação
em coordenadas
cujos eixos foram obtidos pela rotação dos eixos originais
em
no sentido anti-horário.
Conteúdo: mudança de variáveis por rotação de eixos.
Conteúdo: mudança de variáveis por rotação de eixos.
Passo 2
Quando os eixos giram em
anti-horário, as coordenadas do ponto transformam-se assim:
como
. Portanto
Passo 3
Substituímos em
para obter em
:
Passo 4
Para chegar à forma
multiplicamos tudo por
(mmc de
e
):
Expandindo,
e finalmente
Logo
,
,
,
,
,
.
Passo 5
Na forma padrão em
temos
,
e
Os focos em
são
. Voltando a
, resolvemos para cada caso
de onde
Resposta
(a)
(b) Os focos são e
.
(b) Os focos são