Sejam O x e O y eixos obtidos através de uma rotação, no sentido anti-horário e num ângulo de 45 graus, dos eixos cartesianos Ox e Oy respectivamente. Considere a cônica cuja a equação cartesiana é dada em coordenadas ( tildex, tildey) por
tildex^29-tildey^216=1
(a) Escreva a equação cartesiana desta cônica em coordenadas cartesianas (x, y) na forma
A x^2+B x y+C y^2+D x+E y+F=0
(b) Quais os focos dessa cônica em coordenadas cartesianas (x, y) ?

Passo 1

O enunciado apresenta uma hipérbole de equação
tildex^29-tildey^216=1
em coordenadas (tildex,tildey) cujos eixos foram obtidos pela rotação dos eixos originais (x,y) em phi=45^circ no sentido anti-horário.
Conteúdo: mudança de variáveis por rotação de eixos.

Passo 2

Quando os eixos giram em phi=45^circ anti-horário, as coordenadas do ponto transformam-se assim:
tildex = xcos(45^circ)+ysin(45^circ)
tildey = -,xsin(45^circ)+ycos(45^circ)
como cos(45^circ)=sin(45^circ)=tfracraiz22. Portanto
tildex=x+yraiz2, tildey=-x+yraiz2

Passo 3

Substituímos em
tildex^29-tildey^216=1
para obter em (x,y):
l(x+yraiz2r)^29;-;l(-x+yraiz2r)^216=1 ;Longrightarrow; (x+y)^218;-;(y-x)^232=1

Passo 4

Para chegar à forma Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0 multiplicamos tudo por 288 (mmc de 18 e 32):
16(x+y)^2-9(y-x)^2=288
Expandindo,
16(x^2+2xy+y^2)-9(x^2-2xy+y^2)=7x^2+50xy+7y^2=288
e finalmente
7x^2+50xy+7y^2-288=0
Logo A=7, B=50, C=7, D=0, E=0, F=-288.

Passo 5

Na forma padrão em (tildex,tildey) temos a^2=9, b^2=16 e
c^2=a^2+b^2=9+16=25, c=5
Os focos em (tildex,tildey) são (pm5,0). Voltando a (x,y), resolvemos para cada caso
x+yraiz2=pm5, -x+yraiz2=0 ;Longrightarrow; y=x,;2x=pm5raiz2,
de onde
(x,y)=l(tfrac5raiz22,tfrac5raiz22r) e l(-tfrac5raiz22,-tfrac5raiz22r)

Resposta

(a) 7x^2+50xy+7y^2-288=0
(b) Os focos são l(tfrac5raiz22,tfrac5raiz22r) e l(-tfrac5raiz22,-tfrac5raiz22r).

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