Considere a cônica cujas equações paramétricas são dadas por
l x=3 cosh (t)+1 y=2 senh(t)-1
(a) Determine o (os) vértice (vértices) desta cônica;
(b) Determine o (os) foco (focos) desta cônica.

Passo 1

O enunciado dá as parametrizações
x = 3cosh(t) + 1,
y = 2sinh(t) - 1,
e pede vértices e focos da cônica. O conteúdo é geometria analítica de cônicas: reconhecer a forma de hipérbole e extrair seus parâmetros.

Passo 2

Defina as variáveis traduzidas ao centro da cônica:
X = x - 13, Y = y + 12
Pela parametrização temos X = cosh(t) e Y = sinh(t). Como cosh^2(t) - sinh^2(t) = 1, concluímos que a equação cartesiana da cônica é
(x-1)^29 ;-;(y+1)^24 ;=;1
Trata-se de uma hipérbole centrada em (1,-1) com semi-eixo real a=3 (horizontal) e semi-eixo imaginário b=2.

Passo 3

Os vértices estão sobre o eixo transverso horizontal, onde y+1=0. Substituindo em (x-1)^29=1 vem
x-1 = pm 3 Longrightarrow x = 1pm 3
Logo os vértices são
(4,-1) e (-2,-1)

Passo 4

Para os focos calculamos
c^2 = a^2 + b^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13,
ou seja c = raiz13. Como o eixo principal é horizontal, os focos ficam em
(1pmraiz13,,-1)

Resposta

Vértices: (4,-1) e (-2,-1).
Focos: l(1+raiz13,-1r) e l(1-raiz13,-1r).

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