Determine o raio e o centro das seguintes circunferências:
(a) 2(x+1)^26+(y-1)^23=1;
(b) 3 r=cos (theta), equação dada em coordenadas polares.

Passo 1

O enunciado pede para determinarmos centro e raio de duas circunferências, uma dada em coordenadas cartesianas e outra em coordenadas polares. Para isso vamos usar:
  1. Em cartesianas, a forma padrão de uma circunferência de centro (h,k) e raio R é
(x-h)^2 + (y-k)^2 = R^2
  1. Em polares usamos as relações
r^2 = x^2 + y^2, rcos(theta) = x,
para converter em cartesianas e então completar quadrados.

Passo 2

Para a equação
2(x+1)^26 + (y-1)^23 = 1
simplificamos o primeiro termo:
26 = 13,
ficando
(x+1)^23 + (y-1)^23 = 1
Multiplicando ambos os lados por 3 obtemos
(x+1)^2 + (y-1)^2 = 3,
que já está na forma padrão com centro
(h,k) = (-1,,1)
e raio
R = raiz3

Passo 3

Para a equação polar
3,r = cos(theta)
isolamos r:
r = 13cos(theta)
Multiplicando em coordenadas cartesianas:
r^2 = x^2 + y^2, rcos(theta) = x ;Longrightarrow; x^2 + y^2 = 13,x
Reorganizando em forma de circunferência:
x^2 - 13x + y^2 = 0
Completa-se o quadrado em x:
x^2 - 13x + l(tfrac16r)^2 + y^2 = l(tfrac16r)^2 ;Longrightarrow; l(x - tfrac16r)^2 + y^2 = l(tfrac16r)^2
Logo o centro é
l(tfrac16,,0r)
e o raio é
R = tfrac16

Resposta

(a) Centro em (-1,1) e raio raiz3.
(b) Centro em l(tfrac16,0r) e raio tfrac16.

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