Determine os vértices das seguintes elipses:
(a) Que passa por (0,2) e tem focos (-1,1) e (-1,3).
(b) Que passa por (-1,1) e tem focos (-1,-1) e (1,1).

Passo 1

O enunciado pede para determinar os vértices de duas elipses, uma em (a) com focos (-1,1) e (-1,3) e ponto (0,2), e outra em (b) com focos (-1,-1) e (1,1) e ponto (-1,1). Vamos usar que, numa elipse, a soma das distâncias de qualquer ponto P aos focos é 2a, o centro é o ponto médio dos focos, a distância do centro a cada foco é c e b satisfaz
a^2 = b^2 + c^2
Os vértices principais ficam a uma distância a do centro ao longo do eixo maior, e os secundários a b ao longo do eixo menor.

Passo 2

Para a elipse (a), calculemos primeiro . Seja , , .
As distâncias são
Como , temos e portanto
O centro é o ponto médio de e , isto é , e
Logo

Passo 3

Como os focos de (a) estão alinhados verticalmente, o eixo maior é vertical e o menor é horizontal. Assim:
Vértices principais
(-1,;2 + raiz2) e (-1,;2 - raiz2),
vértices secundários
(-1 + 1,;2) = (0,2) e (-1 - 1,;2) = (-2,2)

Passo 4

Para a elipse (b), tomamos , , .
logo e
O centro é e
Então

Passo 5

Os focos de (b) estão na reta de direção (1,1), logo o eixo maior tem vetor unitário l(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r) e o menor é perpendicular, com vetor unitário l(-tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r).
Vértices principais
(0,0)pm 2l(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r) = (raiz2,;raiz2) e (-raiz2,;-,raiz2),
vértices secundários
(0,0)pm raiz2l(-tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r) = (-1,1) e (1,-1)

Resposta

(a) Vértices principais: (-1,2+raiz2), (-1,2-raiz2). Secundários: (0,2), (-2,2).
(b) Vértices principais: (raiz2,raiz2), (-raiz2,-raiz2). Secundários: (-1,1), (1,-1).

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