Determine os vértices das seguintes elipses:
(a) Que passa por
e tem focos
e
.
(b) Que passa por
e tem focos
e
.
(a) Que passa por
(b) Que passa por
Passo 1
O enunciado pede para determinar os vértices de duas elipses, uma em (a) com focos
e
e ponto
, e outra em (b) com focos
e
e ponto
. Vamos usar que, numa elipse, a soma das distâncias de qualquer ponto
aos focos é
, o centro é o ponto médio dos focos, a distância do centro a cada foco é
e
satisfaz
Os vértices principais ficam a uma distância
do centro ao longo do eixo maior, e os secundários a
ao longo do eixo menor.
Passo 2
Para a elipse (a), calculemos primeiro
. Seja
,
,
.
As distâncias são
As distâncias são
Como
, temos
e portanto
O centro é o ponto médio de
e
, isto é
, e
Logo
Passo 3
Como os focos de (a) estão alinhados verticalmente, o eixo maior é vertical e o menor é horizontal. Assim:
Vértices principais
Vértices principais
vértices secundários
Passo 4
Para a elipse (b), tomamos
,
,
.
logo
e
O centro é
e
Então
Passo 5
Os focos de (b) estão na reta de direção
, logo o eixo maior tem vetor unitário
e o menor é perpendicular, com vetor unitário
.
Vértices principais
Vértices principais
vértices secundários
Resposta
(a) Vértices principais:
,
. Secundários:
,
.
(b) Vértices principais: ,
. Secundários:
,
.
(b) Vértices principais: