Sejam B1=(2,2),(4,-1) e B2=(1,3),(-1,-1) bases de R^2. Encontre a matriz de mudança da base B1 para a base B2.

Passo 1

O enunciado dá duas bases de R^2:
B1=(2,2),(4,-1) e B2=(1,3),(-1,-1),
e pede a matriz de mudança de coordenadas de B1 para B2.
O conteúdo envolvido é transformação de coordenadas entre bases, usando as matrizes cujas colunas são os vetores das bases.

Passo 2

Vamos montar as matrizes cujas colunas são os vetores de cada base em coordenadas canônicas.
CB1 = 2 & 4 2 & -1 , CB2 = 1 & -1 3 & -1

Passo 3

Para passar de coordenadas em B1 para coordenadas em B2, usamos
P = CB2^-1,CB1
Primeiro, calculemos CB2^-1. O determinante de CB2 é
det(CB2)=1cdot(-1)-(-1)cdot3 = -1+3 = 2,
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CB2^-1 =12 -1 & 1 -3 & 1 = -tfrac12 & tfrac12 -tfrac32 & tfrac12

Passo 4

Agora multiplicamos para obter P:
P = -tfrac12 & tfrac12 -tfrac32 & tfrac12 2 & 4 2 & -1 = (-tfrac12)cdot 2 + (tfrac12)cdot 2 & (-tfrac12)cdot 4 + (tfrac12)cdot (-1)[6pt] (-tfrac32)cdot 2 + (tfrac12)cdot 2 & (-tfrac32)cdot 4 + (tfrac12)cdot (-1) = 0 & -tfrac52 -2 & -tfrac132 ]

Resposta

boxed PB2 B1 = 0 & -tfrac52 -2 & -tfrac132

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