Considere a cônica cuja equação geral padrão em coordenadas cartesianas (x, y) é dada por
9 x^2-18 y^2+24 y-26=0
(a) Identifique a cônica (diga se é elipse, parábola, hipérbole, um ponto ou duas retas);
(b) Determine o (os) foco (focos) desta cônica.

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica
9x^2-18y^2+24y-26=0
e pede (a) a classificação da cônica e (b) seus focos.
Vamos completar o quadrado em y e, em seguida, escrever a equação na forma padrão para identificar o tipo de cônica e extrair seus parâmetros.

Passo 2

Agrupando os termos em y e completando o quadrado, temos
9x^2-18l(y^2-tfrac43yr)-26=0
Dentro do parêntese note que
y^2-tfrac43y =l(y-tfrac23r)^2-l(tfrac23r)^2 =l(y-tfrac23r)^2-tfrac49
Logo,
-18l(y^2-tfrac43yr) =-18l(y-tfrac23r)^2 +18cdottfrac49 =-18l(y-tfrac23r)^2+8
Substituindo na equação original:
9x^2-18l(y-tfrac23r)^2+8-26=0 Longrightarrow 9x^2-18l(y-tfrac23r)^2-18=0

Passo 3

Dividindo tudo por 18 para obter a forma padrão, vem
9x^218-18,(y-tfrac23)^218 =1 Longrightarrow x^22-l(y-tfrac23r)^2=1
Essa é a forma padrão de uma hipérbole com centro em l(0,tfrac23r), eixo transverse horizontal,
a^2=2, b^2=1

Passo 4

Para uma hipérbole horizontal, a distância focal satisfaz
c^2=a^2+b^2=2+1=3,
ou seja c=raiz3.
Os focos ficam a c unidades à esquerda e à direita do centro, logo
F1=l(-raiz3,,tfrac23r), F2=l(raiz3,,tfrac23r)

Resposta

(a) É uma hipérbole.
(b) Os focos são
l(-raiz3,,tfrac23r) e l(raiz3,,tfrac23r)

Exercícios relacionados