Sejam U=(x, y, z) in R^3: x-2 y+z=0 e V=[(1,1,1),(1,-1,2),(0,2,-1)] subespaços de R^3.
Determine uma base para U.

Passo 1

O enunciado pede uma base para o subespaço
U=(x,y,z)inR^3: x-2y+z=0.
O conteúdo é teoria de subespaços de R^3 definidos por uma equação linear homogênea e vamos usar parametrização para encontrar vetores geradores e depois extrair uma base.

Passo 2

Um vetor (x,y,z) pertence a U se satisfizer
x - 2y + z = 0
Isolando x, temos x = 2y - z. Introduzimos parâmetros s,y=s e t,z=t, então
(x,y,z) = (2s - t,;s,;t) = s,(2,1,0) ;+; t,(-1,0,1)

Passo 3

Os vetores (2,1,0) e (-1,0,1) geram U. Como são dois vetores em um subespaço de dimensão 2 e não são múltiplos um do outro, eles são linearmente independentes. Logo formam uma base de U.

Resposta

Uma base de U é
(2,1,0),;(-1,0,1)

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