Considere a cônica cujas equações paramétricas são dadas por
(a) Identifique esta cônica (diga se é elipse, parábola, hipérbole, um ponto ou duas retas);
(b) Quais os focos desta cônica?
(b) Quais os focos desta cônica?
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
para
. Isso caracteriza uma cônica. Vamos reescrever num sistema de eixos ortonormais rotacionados para identificar tipo, semieixos e direções principais.
Passo 2
Observamos que podemos escrever em forma vetorial:
Definimos os vetores unitários
que satisfazem
e
. Então
pois
e
.
Passo 3
A forma
com
e
caracteriza uma elipse cujos semieixos principais têm comprimentos
e
nas direções
e
respectivamente. Assim, a cônica é uma elipse.
Passo 4
Para elipse com semieixos
(maior) e
(menor), os focos ficam a uma distância
do centro, ao longo do eixo maior. O eixo maior está na direção de
, isto é, ao longo de
. Logo os focos são
Resposta
(a) É uma elipse.
(b) Os focos são
(b) Os focos são