Considere a cônica cujas equações paramétricas são dadas por
x=raiz2 cos (t)-raiz22 sen(t), y=raiz2 cos (t)+raiz22 sen(t) ; t in R
(a) Identifique esta cônica (diga se é elipse, parábola, hipérbole, um ponto ou duas retas);
(b) Quais os focos desta cônica?

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x=raiz2cos(t)-raiz22sin(t), y=raiz2cos(t)+raiz22sin(t),
para tinR. Isso caracteriza uma cônica. Vamos reescrever num sistema de eixos ortonormais rotacionados para identificar tipo, semieixos e direções principais.

Passo 2

Observamos que podemos escrever em forma vetorial:
Definimos os vetores unitários
que satisfazem e . Então
pois e .

Passo 3

A forma
vec r(t)=acos(t),u + bsin(t),v
com a=2 e b=1 caracteriza uma elipse cujos semieixos principais têm comprimentos a e b nas direções u e v respectivamente. Assim, a cônica é uma elipse.

Passo 4

Para elipse com semieixos a (maior) e b (menor), os focos ficam a uma distância
c=raiza^2-b^2=raiz2^2-1^2=raiz3
do centro, ao longo do eixo maior. O eixo maior está na direção de u, isto é, ao longo de l(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r). Logo os focos são
F1,2 = pm c,u = pm raiz3,1raiz211 = pmraiztfrac32[4pt]raiztfrac32 ]

Resposta

(a) É uma elipse.
(b) Os focos são
l(raiztfrac32,,raiztfrac32r) e l(-raiztfrac32,,-raiztfrac32r)

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