Determine quais das seguintes matrizes são ortogonais. Para as que são ortogonais, obtenha a inversa.
(b) [rr1 / raiz2 & -1 / raiz2 1 / raiz2 & 1 / raiz2]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 1raiz2 & -1raiz2 1raiz2 & 1raiz2
é ortogonal e, em caso afirmativo, encontrar A^-1. O conteúdo aqui é definição de matriz ortogonal (isto é, A^TA=I) e a propriedade de que para matrizes ortogonais vale A^-1=A^T.

Passo 2

Calcular A^T e em seguida A^T A. Primeiro,
A^T = 1raiz2 & 1raiz2 -1raiz2 & 1raiz2
Agora multiplicamos:
A^T A = 1raiz2 & 1raiz2 -1raiz2 & 1raiz2 1raiz2 & -1raiz2 1raiz2 & 1raiz2
Os elementos ficam:
(A^T A)11 =12+12=1, , (A^T A)12 =-12+12=0,
(A^T A)21 =-12+12=0, , (A^T A)22 =12+12=1
Portanto
A^T A = 1&00&1=I

Passo 3

Como A^T A=I, concluímos que A é ortogonal. Logo, sua inversa satisfaz
A^-1 = A^T

Resposta

A matriz é ortogonal e
A^-1 = A^T = 1raiz2 & 1raiz2 -1raiz2 & 1raiz2

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