Determine se A é diagonalizável. Se for, encontre uma matriz P que diagonaliza A e determine P^-1 A P.
(f)
Lambda=[lll1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1
e pede para verificar se A é diagonalizável. Para isso, vamos calcular os autovalores de A, em seguida encontrar autovetores e checar se obtemos três vetores linearmente independentes.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det 1-lambda & 0 & 0 0 & 1-lambda & 1 0 & 1 & 1-lambda = (1-lambda),det1-lambda & 1 1 & 1-lambda
Como
det1-lambda & 1 1 & 1-lambda =(1-lambda)^2 - 1 = -lambda(2-lambda),
segue que
det(A-lambda I) = -(1-lambda),lambda,(2-lambda)
Logo os autovalores são
lambda1 = 1, lambda2 = 0, lambda3 = 2,
todos distintos.

Passo 3

Agora achamos os autovetores:
. Para resolvemos :
Podemos escolher .
. Para resolvemos :
Tomamos , , isto é .
. Para resolvemos :
Escolhemos .
Como temos três autovalores distintos cada um com um autovetor não-nulo, esses três vetores são linearmente independentes e formam uma base de autovetores. Portanto, é diagonalizável.

Passo 4

Montamos a matriz P cujas colunas são os autovetores em qualquer ordem consistente com a diagonal:
P = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 0 & -1 & 1 ,
onde a primeira coluna é v1, a segunda é v2 com (0,1,-1) e a terceira é v3.
O inverso de P pode ser obtido observando que o bloco 2times 2 tem inverso tfrac121&11&-1. Logo
P^-1 = 1 & 0 & 0 0 & tfrac12 & tfrac12 0 & -tfrac12 & tfrac12
Então a forma diagonal é
P^-1 A P = 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2 ,
ou, colocando na ordem dos autovalores (1,0,2),
P^-1 A P = diag(1,0,2)

Resposta

A matriz A é diagonalizável. Uma escolha de matriz de autovetores e sua inversa é
P = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 0 & -1 & 1 , P^-1 = 1 & 0 & 0 0 & tfrac12 & tfrac12 0 & -tfrac12 & tfrac12 ,
e
P^-1AP = diag(1,0,2)

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