Considere a cônica de equação
(a) Determine o(s) vértice(s) da cônica.
(b) Determine o(s) foco(s) da cônica.
(b) Determine o(s) foco(s) da cônica.
Passo 1
O enunciado dá a cônica em coordenadas polares
e pede (a) o(s) vértice(s) e (b) o(s) foco(s).
Aqui o conteúdo é o estudo de cônicas em forma polar
Aqui o conteúdo é o estudo de cônicas em forma polar
onde
é a excentricidade e
a distância da diretriz ao polo.
Passo 2
Vamos pôr a equação dada na forma padrão.
Começamos fatorando o denominador:
Começamos fatorando o denominador:
Logo
Comparando com
, vemos que
Como
, trata-se de uma hipérbole de foco no polo e diretriz
Passo 3
O vértice de uma cônica polar é o ponto mais próximo do foco (polo), atingido quando o denominador
é máximo.
Aqui é máximo para
, ou seja
.
Nesse caso
Aqui
Nesse caso
Portanto o vértice ocorre em
ou, em coordenadas cartesianas, no ponto
.
Passo 4
Em cônicas polares da forma
com
, o polo é um dos focos.
Aqui só há esse foco (o outro foco fica “no infinito” para a representação polar), logo o único foco é o polo:
Aqui só há esse foco (o outro foco fica “no infinito” para a representação polar), logo o único foco é o polo:
Resposta
(a) O único vértice é
, isto é,
.
(b) O foco está no polo, ou seja .
(b) O foco está no polo, ou seja