Considere a cônica de equação
r=32+4 cos (theta)
(a) Determine o(s) vértice(s) da cônica.
(b) Determine o(s) foco(s) da cônica.

Passo 1

O enunciado dá a cônica em coordenadas polares
r=32+4cos(theta)
e pede (a) o(s) vértice(s) e (b) o(s) foco(s).
Aqui o conteúdo é o estudo de cônicas em forma polar
r=ed1+ecos(theta),
onde e é a excentricidade e d a distância da diretriz ao polo.

Passo 2

Vamos pôr a equação dada na forma padrão.
Começamos fatorando o denominador:
2+4cos(theta)=2l(1+2cos(theta)r)
Logo
r=32,(1+2cos(theta))=3/21+2cos(theta)
Comparando com r=ed1+ecos(theta), vemos que
e=2, ed=32 ;Longrightarrow; d=3/22=34
Como e=2>1, trata-se de uma hipérbole de foco no polo e diretriz
;x=-d=-tfrac34

Passo 3

O vértice de uma cônica polar é o ponto mais próximo do foco (polo), atingido quando o denominador 1+ecos(theta) é máximo.
Aqui 1+2cos(theta) é máximo para cos(theta)=1, ou seja theta=0.
Nesse caso
rmin=3/21+2=3/23=12
Portanto o vértice ocorre em
(r,theta)=l(tfrac12,0r),
ou, em coordenadas cartesianas, no ponto l(x,yr)=(tfrac12,0).

Passo 4

Em cônicas polares da forma
r=dfraced1+ecos(theta),
com e>1, o polo é um dos focos.
Aqui só há esse foco (o outro foco fica “no infinito” para a representação polar), logo o único foco é o polo:
foco: (0,0)

Resposta

(a) O único vértice é l(r,thetar)=(tfrac12,0), isto é, (x,y)=(tfrac12,0).
(b) O foco está no polo, ou seja (0,0).

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