Determine se cada afirmaçäo abaixo é verdadeira ou falsa. Se for falsa dê um contraexemplo ou mostre que é falsa. Se for verdadeira, justifique.
A aplicação T: P1(R) P2(R) definida por T(p(x))=x p(x)+x é linear.

Passo 1

O enunciado define a aplicação
Tcolon P1(R)to P2(R) por
Tl(p(x)r)=x,p(x)+x
Para ser linear, T deve satisfazer, para todo p,qin P1(R) e todo escalar alpha,
  1. T(p+q)=T(p)+T(q),
  2. T(alpha p)=alpha,T(p),
    além de implicar T(0)=0.

Passo 2

Verificamos a condição em 0. O polinômio zero em P1(R) é 0(x)=0.
Calculando
Tl(0r)=xcdot0 + x = x,
que não é o polinômio zero de P2(R).

Passo 3

Como uma transformação linear sempre satisfaz T(0)=0, e aqui T(0)=xneq0, concluímos que T não é linear.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contraexemplo imediato é que T(0)neq0.

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