Determine o foco das parábolas:
(a) Que passa pelos pontos e ;
(b) Cuja diretriz é e o vértice é .
Passo 1
O enunciado pede o foco de duas parábolas. No item (a) temos três pontos dados, então usaremos a forma geral da parábola , determinaremos , passaremos para a forma canônica para extrair o vértice e o parâmetro focal , e então achar o foco . No item (b) temos a diretriz e o vértice . Usaremos a definição de parábola como o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da diretriz, calculando a distância do vértice à diretriz (que vale ), encontrando a normal à diretriz para localizar o foco a uma distância do vértice.
Passo 2
Para (a), assuma
Como a parábola passa por
Substituindo . Inserindo em :
Logo
Passo 3
Reescrevendo em forma canônica:
Daí o vértice é e, comparando com , temos , logo . O foco fica em
Passo 4
Para (b), a diretriz é a reta
e o vértice é . Primeiro calcule a distância de à diretriz, que vale exatamente :
Passo 5
A normal unitária à diretriz, apontando para o lado onde está o vértice, é
n = (-1,1)raiz2 = l(-tfrac1raiz2,;tfrac1raiz2r)
O foco fica a uma distância p do vértice na direção de n:
F = V + p,n = (-1,1) + 2raiz2 ,l(-tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r) = (-1,1) + (-2,2) = (-3,3)