Determine o foco das parábolas:
(a) Que passa pelos pontos (0,0),(4,0) e (2,-1);
(b) Cuja diretriz é r: y=x-2 e o vértice é (-1,1).

Passo 1

O enunciado pede o foco de duas parábolas. No item (a) temos três pontos dados, então usaremos a forma geral da parábola y=ax^2+bx+c, determinaremos a,b,c, passaremos para a forma canônica y=a(x-h)^2+k para extrair o vértice (h,k) e o parâmetro focal p, e então achar o foco (h,k+p). No item (b) temos a diretriz rcolon y=x-2 e o vértice (-1,1). Usaremos a definição de parábola como o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da diretriz, calculando a distância do vértice à diretriz (que vale p), encontrando a normal à diretriz para localizar o foco a uma distância p do vértice.

Passo 2

Para (a), assuma
Como a parábola passa por
Substituindo . Inserindo em :
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Passo 3

Reescrevendo em forma canônica:
y = tfrac14l(x^2 -4xr) = tfrac14l[(x-2)^2 -4r] = tfrac14(x-2)^2 -1
Daí o vértice é (h,k)=(2,-1) e, comparando com y = tfrac14p(x-h)^2 + k, temos tfrac14p = tfrac14, logo p=1. O foco fica em
(h,;k+p) = (2,,-1+1) = (2,0)

Passo 4

Para (b), a diretriz é a reta
y = x-2 Long<=ftrightarrow y - x + 2 = 0,
e o vértice é V=(-1,1). Primeiro calcule a distância de V à diretriz, que vale exatamente p:
p = l|,(-1)cdot(-1) + 1cdot1 + 2r|raiz(-1)^2 + 1^2 = |1+1+2|raiz2 = 4raiz2 = 2raiz2

Passo 5

A normal unitária à diretriz, apontando para o lado onde está o vértice, é
n = (-1,1)raiz2 = l(-tfrac1raiz2,;tfrac1raiz2r)
O foco fica a uma distância p do vértice na direção de n:
F = V + p,n = (-1,1) + 2raiz2 ,l(-tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r) = (-1,1) + (-2,2) = (-3,3)

Resposta

(a) (2,0)
(b) (-3,3)

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