Considere a cônica de equação polar dada por
r=-11-sen(theta)
(a) Identifique essa cônica (se é elipse, circunferência, parábola, hipérbole ou degenerada);
(b) Quais o focos dessa cônica?

Passo 1

O enunciado dá a cônica em coordenadas polares pela equação
r=-11-sen(theta)
O conteúdo aqui é identificação de cônicas em forma polar do tipo
r=ed1pm esen(theta),
onde e é a excentricidade. Para resolver, vamos (i) comparar com a forma padrão para achar e, (ii) converter para coordenadas cartesianas (x,y) para verificar a classificação e (iii) extrair o foco.

Passo 2

Escrevendo
r=-11-sen(theta)=ed1-esen(theta),
vemos que ed=-1 e o sinal -sen(theta) corresponde a 1-esen(theta). Logo
e=1, d=-1
Como e=1, trata-se de uma parábola.

Passo 3

Para confirmar e achar o foco, convertemos a forma polar em cartesiano. Temos
r=raizx^2+y^2, sen(theta)=yr
Substituindo em
r=-1,1-yr,
obtém-se
rl(1-yrr)=-1 Longrightarrow r-y=-1 Longrightarrow raizx^2+y^2=y-1

Passo 4

Elevando ao quadrado e simplificando:
x^2+y^2=(y-1)^2 Longrightarrow x^2+y^2=y^2-2y+1 Longrightarrow x^2+2y-1=0 Longrightarrow x^2=-2l(y-tfrac12r)
Isto é um padrão
x^2=4pl(y-kr)
com 4p=-2 e vértice l(0,tfrac12r). Daí p=-tfrac12 e o foco fica em
l(0,k+pr) =l(0,tfrac12-tfrac12r) =(0,0)

Resposta

(a) Parábola.
(b) O foco é (0,0).

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