Considere a parábola de foco
e diretriz
. Escreva a equação cartesiana dessa parábola na forma
(a) Quais são os coeficientes
e
?
(b) Qual o vértice dessa parábola?
(b) Qual o vértice dessa parábola?
Passo 1
O enunciado pede a equação da parábola cujo foco é
e a diretriz é a reta
, na forma geral
Estamos em geometria analítica de cônicas e vamos usar a definição “distância de um ponto ao foco
distância de um ponto à diretriz”.
Passo 2
Se
é um ponto da parábola, vale
Como
,
A diretriz
tem equação
, logo a distância de
a essa reta é
Igualando e elevando ao quadrado:
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
e expandindo:
Isso dá
ou seja
Passo 4
Comparando com
vemos que
Passo 5
O eixo da parábola é a reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz. Como a diretriz tem coeficiente angular
, o eixo tem coeficiente angular
e passa por
, logo sua equação é
Passo 6
O vértice é a interseção da parábola com o eixo
. Substituindo
em
vem
Como
, temos
. Então o vértice é
.
Resposta
(a)
(b) Vértice em .
(b) Vértice em