Considere a parábola de foco F=(2,2) e diretriz y=-x. Escreva a equação cartesiana dessa parábola na forma
A x^2+B x y+C y^2+D x+E y+F=0
(a) Quais são os coeficientes A, B, C, D, E e F ?
(b) Qual o vértice dessa parábola?

Passo 1

O enunciado pede a equação da parábola cujo foco é F=(2,2) e a diretriz é a reta y=-x, na forma geral
A x^2+B x y+C y^2+D x+E y+F=0
Estamos em geometria analítica de cônicas e vamos usar a definição “distância de um ponto ao foco = distância de um ponto à diretriz”.

Passo 2

Se (x,y) é um ponto da parábola, vale
distl((x,y),Fr) ;=;distl((x,y),diretrizr)
Como F=(2,2),
distl((x,y),Fr)=raiz(x-2)^2+(y-2)^2
A diretriz y=-x tem equação x+y=0, logo a distância de (x,y) a essa reta é
|x+y|raiz1^2+1^2=|x+y|raiz2
Igualando e elevando ao quadrado:
(x-2)^2+(y-2)^2 ;=;l(tfracx+yraiz2r)^2

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por 2 e expandindo:
2l((x-2)^2+(y-2)^2r)=(x+y)^2 Rightarrow 2(x^2-4x+4+y^2-4y+4)=x^2+2xy+y^2
Isso dá
2x^2-8x+8+2y^2-8y+8 = x^2+2xy+y^2 Rightarrow 2x^2+2y^2-8x-8y+16 -x^2 -2xy -y^2 = 0,
ou seja
x^2 -2xy +y^2 -8x -8y +16 = 0

Passo 4

Comparando com
A x^2+B x y+C y^2+D x+E y+F=0
vemos que
A=1, B=-2, C=1, D=-8, E=-8, F=16

Passo 5

O eixo da parábola é a reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz. Como a diretriz tem coeficiente angular -1, o eixo tem coeficiente angular 1 e passa por (2,2), logo sua equação é
y-2 = 1,(x-2)Longrightarrow y=x

Passo 6

O vértice é a interseção da parábola com o eixo y=x. Substituindo y=x em
x^2 -2xy +y^2 -8x -8y +16 = 0
vem
x^2 -2x^2 +x^2 -8x -8x +16 = -16x+16 =0 Rightarrow x=1
Como y=x, temos y=1. Então o vértice é (1,1).

Resposta

(a) A=1,;B=-2,;C=1,;D=-8,;E=-8,;F=16
(b) Vértice em (1,1).

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