Considere a cônica
2 x^2-4 x+y^2+2 y-5=0
(a) Determine os focos desta cônica;
(b) Qual a distância entre os vértices desta cônica?

Passo 1

O enunciado dá a cônica
2x^2-4x+y^2+2y-5=0
e pede (a) os focos e (b) a distância entre os vértices. Para isso vamos completar quadrados e identificar o tipo de cônica (que vai ser uma elipse).

Passo 2

Começo completando quadrados em x e em y:
2l(x^2-2xr)+(y^2+2y)-5=0
2l(x^2-2x+1r)-2+l(y^2+2y+1r)-1-5=0
2(x-1)^2+(y+1)^2-8=0
2(x-1)^2+(y+1)^2=8
Dividindo por 8:
(x-1)^24+(y+1)^28=1

Passo 3

Reconhecemos uma elipse centrada em (1,-1) com semieixos
b^2=4, a^2=8(a>b),
sendo o eixo maior paralelo ao eixo y. Assim
a=raiz8=2raiz2, b=raiz4=2
O valor de c (distância do centro a cada foco) vem de
c^2=a^2-b^2=8-4=4Longrightarrow c=2

Passo 4

Como o eixo maior é vertical, os focos ficam em
(1,,-1pm c) = (1,,-1pm2)
Logo
focos: (1,,1)e(1,,-3)

Passo 5

Os vértices também se situam ao longo do eixo y, a uma distância a do centro:
(1,,-1pm a)=(1,,-1pm2raiz2)
A distância entre esses dois vértices é
2a=2cdot2raiz2=4raiz2

Resposta

(a) Os focos são (1,1) e (1,-3).
(b) A distância entre os vértices é 4raiz2.

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