Considere a cônica
2 x^2+4 x-y^2-6=0
(a) Determine os focos desta cônica;
(b) Qual a distância entre os vértices desta cônica?

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica
2x^2+4x-y^2-6=0
que é uma hipérbole (coefs. de x^2 e y^2 têm sinais opostos). Para achar focos e vértices, vamos reescrevê-la em sua forma canônica completando quadrados.

Passo 2

Começamos completando o quadrado em x:
2l(x^2+2xr)-y^2-6=0 Longrightarrow 2l((x+1)^2-1r)-y^2-6=0
2(x+1)^2-2-y^2-6=0 Longrightarrow 2(x+1)^2-y^2=8
Dividindo por 8,
(x+1)^24-y^28=1

Passo 3

Da forma
(x+1)^2a^2-y^2b^2=1
vemos que a^2=4, b^2=8. O centro é (-1,0) e como é hipérbole horizontal,
c^2=a^2+b^2=4+8=12, c=2raiz3

Passo 4

Os focos ficam no eixo transverso, a uma distância c do centro:
F1=l(-1+2raiz3,,0r), F2=l(-1-2raiz3,,0r)

Passo 5

Os vértices estão a a do centro sobre o mesmo eixo, em (-1pm a,0). Como a=2, eles são (1,0) e (-3,0), logo a distância entre vértices é
2a=4

Resposta

(a) Os focos são l(-1+2raiz3,0r) e l(-1-2raiz3,0r).
(b) A distância entre os vértices é 4.

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