Considere a cônica de equação
2 x^2-8 x-y+7=0
(a) Identifique essa cônica (se é elipse, circunferência, parábola, hipérbole ou degenerada);
(b) Quais os focos dessa cônica?

Passo 1

O enunciado dá a cônica de equação
2x^2 - 8x - y + 7 = 0
e pede (a) identificar o tipo de cônica e (b) encontrar seus focos. O conteúdo necessário é completar o quadrado para pôr na forma canônica e reconhecer que só há um termo quadrático em x, indicando uma parábola.

Passo 2

Isolamos y e completamos o quadrado em x:
y = 2x^2 - 8x + 7
y = 2l(x^2 - 4xr) + 7
y = 2l(x^2 - 4x + 4 - 4r) + 7
y = 2l((x-2)^2 - 4r) + 7
y = 2(x-2)^2 - 8 + 7
y = 2(x-2)^2 - 1

Passo 3

Reescrevendo em forma padrão de parábola com eixo vertical:
(x-2)^2 = tfrac12,(y+1)
Como aparece um único quadrado em x, é uma parábola.

Passo 4

Para comparar com
(x-h)^2 = 4p,(y-k),
temos
4p = tfrac12 Longrightarrow p = tfrac18,
e o vértice (h,k)=(2,-1).

Passo 5

O foco de uma parábola com eixo vertical está em
(h,;k+p) = l(2,;-1 + tfrac18r) = l(2,;-tfrac78r)

Resposta

(a) Parábola.
(b) Foco em l(2,-tfrac78r).

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