(a) Considere a cônica S de equação
8 x^2-12 x y+17 y^2=20
Através de uma diagonalização, ou seja, uma mudança de coordenadas, reduza esta equação a uma forma mais simples e faça um esboço do gráfico desta cônica no sistema de coordenadas de eixos x e y.

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar a cônica
8x^2-12xy+17y^2=20
isto é, usar uma rotação dos eixos para eliminar o termo em xy e obter uma forma canônica mais simples. O conteúdo aqui é a teoria de formas quadráticas e mudança de variáveis por rotação: primeiro classificamos a cônica, depois achamos o ângulo de rotação que anula o termo misto, e finalmente escrevemos a equação em novos eixos principal.

Passo 2

Escrevemos a forma quadrática em forma matricial
O discriminante é
logo a cônica é uma elipse. Para diagonalizar, calculamos os autovalores da matriz

Passo 3

O traço e o determinante de M são
trM=8+17=25, det M=8cdot17-(-6)^2=136-36=100
Os autovalores lambda satisfazem
lambda^2 -(trM)lambda +det M=0 ;Longrightarrow; lambda^2-25lambda+100=0,
cuja solução é
lambda1=25+152=20, lambda2=25-152=5
Para achar o ângulo theta que anula o termo em xy, usamos
tan2theta=BA-C=-128-17=43
Tomamos 2theta=arctan43, de modo que
costheta=raiz1+cos2theta2=2raiz5, sintheta=raiz1-cos2theta2=1raiz5

Passo 4

Fazendo a rotação
x = ucostheta - vsintheta, y = usintheta + vcostheta,
a forma em (u,v) fica diagonal com autovalores lambda1 e lambda2:
20,u^2+5,v^2=20
Dividindo ambos os lados por 20, obtemos a forma canônica
u^21 + v^24 =1,
que é a equação de um elipse de semieixos a=1 e b=2.

Passo 5

Em coordenadas originais, a elipse está centrada na origem, com semieixo maior b=2 na direção do autovetor associado a lambda2=5. Esse autovetor satisfaz
M21 =521,
logo a reta y=tfrac12x é o eixo maior (comprimento 4), e o eixo menor (comprimento 2) é perpendicular a ele. O ângulo entre o eixo x e o eixo maior é
theta=tfrac12arctan43approx26,6^circ
No plano xy, o esboço é uma elipse centrada em (0,0), alongada ao longo da reta y=tfrac12x, com semieixos 2 e 1.

Resposta

A rotação de ângulo theta em que tan2theta=4/3 leva a equação
8x^2-12xy+17y^2=20
à forma canônica
u^21+v^24=1
É uma elipse de semieixos a=1, b=2, girada de thetaapprox26,6^circ em relação ao eixo x, com eixo maior na reta y=tfrac12x.

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