Seja dada uma cônica S de equação
a x^2+b x y+c y^2+d x+e y+f=0
Seja P=(x, y) um ponto de S.
Mostre que se a reta tangente a S em P é vertical, então P pertence à reta de equação b x+2 c y+e=0.

Passo 1

O enunciado dá a cônica
S:;a x^2+b x y+c y^2+d x+e y+f=0
e pede para mostrar que, se a reta tangente a S em P=(x,y) é vertical, então P satisfaz a equação da reta
b x+2 c y+e=0
O conteúdo usado será a derivação implícita para encontrar a inclinação da tangente e a condição de verticalidade.

Passo 2

Defina
F(x,y)=a x^2+b x y+c y^2+d x+e y+f
Calculamos as derivadas parciais:
Fx=partial Fpartial x=2a x + b y + d, Fy=partial Fpartial y=b x + 2c y + e

Passo 3

Pela derivação implícita de F(x,y)=0, a inclinação da reta tangente em P é
dydx = -FxFy
Uma reta é vertical quando sua inclinação “explode”, isto é, quando o denominador desta fração se anula. Logo a tangente em P é vertical se, e somente se,
Fy(x,y)=0

Passo 4

Impondo Fy(x,y)=0 obtemos
b x + 2c y + e = 0
Isto mostra que qualquer ponto P de tangente vertical pertence à reta b x+2c y+e=0.

Resposta

b x + 2c y + e = 0

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