Determine as coordenadas do ponto P=(x, y) da parábola de equação
x^2+2 x y+y^2+2 x-2 y=0
mais próximo do ponto A=(3,9).

Passo 1

O enunciado pede o ponto P=(x,y) da curva
x^2+2xy+y^2+2x-2y=0
que minimiza a distância até A=(3,9). Isso é um problema de otimização com restrição: queremos minimizar
f(x,y)=(x-3)^2+(y-9)^2
sujeito à restrição
g(x,y)=x^2+2xy+y^2+2x-2y=0
Usaremos o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Formamos o sistema
nabla f=lambda,nabla g, g(x,y)=0
Calculando gradientes:
nabla f=(2(x-3),,2(y-9)), nabla g=(2x+2y+2,,2x+2y-2)
Logo as equações de Lagrange são
2(x-3)=lambda,(2x+2y+2), 2(y-9)=lambda,(2x+2y-2), x^2+2xy+y^2+2x-2y=0

Passo 3

Dividindo as duas primeiras por 2 e definindo S=x+y, obtemos
x-3=lambda,(S+1), y-9=lambda,(S-1)
Somando essas duas equações:
(x+y)-12=2lambda S ;Longrightarrow; S-12=2lambda S ;Longrightarrow; lambda=S-122S
Reescrevendo x e y em função de S:
x=S^2-5S-122S, y=S^2+5S+122S

Passo 4

A restrição g(x,y)=0 pode ser escrita como
x^2+2xy+y^2+2x-2y=(x+y)^2+2(x-y)=0 ;Longrightarrow; S^2+2(x-y)=0 ;Longrightarrow; x-y=-S^22
Por outro lado,
x-y=(S^2-5S-12)-(S^2+5S+12)2S =-5-12S
Logo
-5-12S=-S^22 ;Longrightarrow; S^3-10S-24=0
Essa equação tem única raiz real S=4.

Passo 5

Para S=4 obtemos
lambda=-1, x=4^2-5cdot4-122cdot4=16-20-128=-2, y=16+20+128=6
Verifica-se que (-2,6) satisfaz a restrição e corresponde ao mínimo de distância.

Resposta

As coordenadas do ponto mais próximo de A são ,(-2,6).

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