Determine as coordenadas do ponto
da parábola de equação
mais próximo do ponto
.
Passo 1
O enunciado pede o ponto
da curva
que minimiza a distância até
. Isso é um problema de otimização com restrição: queremos minimizar
sujeito à restrição
Usaremos o método dos multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Formamos o sistema
Calculando gradientes:
Logo as equações de Lagrange são
Passo 3
Dividindo as duas primeiras por 2 e definindo
, obtemos
Somando essas duas equações:
Reescrevendo
e
em função de
:
Passo 4
A restrição
pode ser escrita como
Por outro lado,
Logo
Essa equação tem única raiz real
.
Passo 5
Para
obtemos
Verifica-se que
satisfaz a restrição e corresponde ao mínimo de distância.
Resposta
As coordenadas do ponto mais próximo de
são
.