(a) Considere a cônica S de equação
8 x^2-12 x y+17 y^2=20
Determine as coordenadas dos pontos P=(x, y) da cônica S nos quais a reta tangente a S em P é paralela a reta de equação y=x.

Passo 1

O enunciado pede os pontos P=(x,y) da cônica
8x^2-12xy+17y^2=20
nos quais a reta tangente é paralela a y=x. Esse problema envolve derivação implícita para encontrar a inclinação da tangente e depois impor que essa inclinação valha 1.

Passo 2

Defina
F(x,y)=8x^2-12xy+17y^2-20=0
Para derivar implicitamente em relação a x, fazemos
partial Fpartial x+ partial Fpartial y,y'=0
Calculando as derivadas parciais:
partial Fpartial x=16x-12y, partial Fpartial y=-12x+34y
Logo a derivada y'=dydx satisfaz
(16x-12y)+(-12x+34y),y'=0 ;;Longrightarrow;; y'=-16x-12y-12x+34y =12y-16x34y-12x

Passo 3

Queremos y'=1. Então impomos
12y-16x34y-12x=1 ;;Longrightarrow;; 12y-16x=34y-12x ;;Longrightarrow;; -16x+12y-34y+12x=0 ;;Longrightarrow;; 4x+22y=0 ;;Longrightarrow;; 2x+11y=0

Passo 4

Da relação 2x+11y=0 segue x=-tfrac112y. Substituindo na equação da cônica:
8l(-tfrac112yr)^2 -12l(-tfrac112yr)y +17y^2=20
Isso dá
8cdot1214y^2 +66y^2 +17y^2=20 ;;Longrightarrow;; 242y^2+66y^2+17y^2=20 ;;Longrightarrow;; 325y^2=20 ;;Longrightarrow;; y^2=20325=465
Logo y=pm2raiz65.

Passo 5

Para cada valor de y temos
x=-tfrac112y =mp11raiz65
Assim os pontos procurados são
P1=l(-tfrac11raiz65,,tfrac2raiz65r), P2=l(tfrac11raiz65,,-tfrac2raiz65r)

Resposta

P1=l(-tfrac11raiz65,,tfrac2raiz65r), P2=l(tfrac11raiz65,,-tfrac2raiz65r)

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