Por uma translação e uma rotação de um ângulo no sentido anti-horário em torno da origem, transforme a equação dessa cônica uma forma mais simples.
Passo 1
O enunciado nos dá a cônica
e pede que, por uma translação e depois uma rotação de ângulo (anti-horário), a levemos a uma forma canônica mais simples.
Conteúdo: encontrar o centro da cônica (eliminando os termos lineares) e depois o ângulo de rotação que anula o termo em .
Passo 2
Para achar o centro
onde , , , .
Isto dá
Daí .
Passo 3
Fazemos a tradução
x = X - 2, y = Y - 1,
substituímos na equação e simplificamos. Surgem apenas termos quadráticos e uma constante:
4X^2 -4XY +7Y^2 -24 =0
Ou seja,
4X^2 -4XY +7Y^2 =24
Passo 4
Para anular o termo em XY rodamos o sistema de coordenadas de X,Y para u,v com
X = ucostheta - vsintheta, Y = usintheta + vcostheta,
escolhendo theta de modo que
tan(2theta) = B'A'-C' = -44-7 = 43
Passo 5
Calculamos os novos coeficientes nas variáveis u,v:
A'' = 3, C'' = 8,
e o termo mista desaparece. A equação torna-se
3,u^2 + 8,v^2 -24 = 0
Passo 6
Por fim, dividindo por 24 obtemos a forma canônica da elipse:
u^28 + v^23 = 1
Resposta
Pela translação x = X -2,; y = Y -1
e rotação de ângulo theta = tfrac12arctan!l(tfrac43r)
a equação fica