Considere a cônica S de equação
4 x^2-4 x y+7 y^2+12 x+6 y-9=0
Por uma translação e uma rotação de um ângulo theta no sentido anti-horário em torno da origem, transforme a equação dessa cônica uma forma mais simples.

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica
4x^2-4xy+7y^2+12x+6y-9=0
e pede que, por uma translação e depois uma rotação de ângulo theta (anti-horário), a levemos a uma forma canônica mais simples.
Conteúdo: encontrar o centro da cônica (eliminando os termos lineares) e depois o ângulo de rotação que anula o termo em XY.

Passo 2

Para achar o centro
onde , , , .
Isto dá
Daí .

Passo 3

Fazemos a tradução
x = X - 2, y = Y - 1,
substituímos na equação e simplificamos. Surgem apenas termos quadráticos e uma constante:
4X^2 -4XY +7Y^2 -24 =0
Ou seja,
4X^2 -4XY +7Y^2 =24

Passo 4

Para anular o termo em XY rodamos o sistema de coordenadas de X,Y para u,v com
X = ucostheta - vsintheta, Y = usintheta + vcostheta,
escolhendo theta de modo que
tan(2theta) = B'A'-C' = -44-7 = 43

Passo 5

Calculamos os novos coeficientes nas variáveis u,v:
A'' = 3, C'' = 8,
e o termo mista desaparece. A equação torna-se
3,u^2 + 8,v^2 -24 = 0

Passo 6

Por fim, dividindo por 24 obtemos a forma canônica da elipse:
u^28 + v^23 = 1

Resposta

Pela translação
x = X -2,; y = Y -1
e rotação de ângulo
theta = tfrac12arctan!l(tfrac43r)
a equação fica
u^28 + v^23 = 1,
forma canônica de uma elipse.

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