Determine uma função
tal que
e depois calcule
sobre a curva
dada.
é qualquer caminho ligando o ponto
ao ponto
.
Passo 1
O enunciado pede para achar uma função escalar
tal que
e, em seguida, calcular
ao longo de qualquer curva que ligue
a
. O conteúdo principal aqui é identificar se
é um campo conservativo e, em caso afirmativo, usar o teorema fundamental do cálculo para campos gradiente.
ao longo de qualquer curva
Passo 2
Verificamos se
é conservativo no domínio
conferindo
Calculando, temos
e portanto essas derivadas coincidem, mostrando que
é conservativo.
Passo 3
Como
, vale
Integramos em
, tratando
como constante:
onde
é uma função de
ainda a determinar.
Passo 4
Agora impomos
o que leva a
. Logo
é constante, que podemos escolher zero. Assim
Passo 5
Pelo teorema fundamental para campos conservativos,
Calculando:
logo
Resposta
Função potencial:
Integral de linha: