Determine uma função f tal que F=nabla f e depois calcule integralC F cdot d r sobre a curva C dada.
F(x, y)=(e^x ln (y)-e^yx) i+(e^xy-e^y ln (x)) j, C é qualquer caminho ligando o ponto (1,1) ao ponto (3,3).

Passo 1

O enunciado pede para achar uma função escalar f tal que F=nabla f e, em seguida, calcular
integralCFcdot dr
ao longo de qualquer curva C que ligue (1,1) a (3,3). O conteúdo principal aqui é identificar se F é um campo conservativo e, em caso afirmativo, usar o teorema fundamental do cálculo para campos gradiente.

Passo 2

Verificamos se F é conservativo no domínio D=(x,y)mid x>0,;y>0 conferindo
partialpartial yl(e^xln y-e^yxr) e partialpartial xl(e^xy-e^yln xr)
Calculando, temos
partial F1partial y = e^x,1y-e^yx, partial F2partial x = e^xy-e^y,1x,
e portanto essas derivadas coincidem, mostrando que F é conservativo.

Passo 3

Como F=nabla f, vale
partial fpartial x = e^xln y - e^yx
Integramos em x, tratando y como constante:
f(x,y) = integrall(e^xln y - e^yxr),dx = e^xln y - e^yln x + h(y),
onde h(y) é uma função de y ainda a determinar.

Passo 4

Agora impomos
partial fpartial y = e^x,1y - e^yln x + h'(y) ;=; e^xy-e^yln x,
o que leva a h'(y)=0. Logo h(y) é constante, que podemos escolher zero. Assim
f(x,y)=e^xln y - e^yln x

Passo 5

Pelo teorema fundamental para campos conservativos,
integralCFcdot dr = f(3,3)-f(1,1)
Calculando:
f(3,3)=e^3ln3 - e^3ln3=0, f(1,1)=e^1ln1 - e^1ln1=0,
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integralCFcdot dr=0

Resposta

Função potencial:
f(x,y)=e^xln y - e^yln x
Integral de linha:
integralCFcdot dr=0

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