Considere a parábola de equação cartesiana x=2 y^2+4 y-1.
(a) Determine o foco da parábola;
(b) Em qual(quais) valor(valores) a diretriz corta o eixo x ?

Passo 1

O enunciado dá a parábola de equação
x = 2y^2 + 4y - 1
e pede (a) o foco e (b) o(s) valor(es) em que a diretriz cruza o eixo x.
Conteúdo: seção cônica (parábola), completamento de quadrado e forma padrão
,(y-k)^2=4p,(x-h) para identificar vértice (h,k), parâmetro p, foco e diretriz.

Passo 2

Começamos completando o quadrado em y:
x = 2l(y^2+2yr)-1 = 2l((y+1)^2-1r)-1 = 2(y+1)^2-2-1 = 2(y+1)^2-3

Passo 3

Isolamos na forma padrão. Somamos 3 em ambos os lados:
x + 3 = 2(y+1)^2 Longrightarrow (y+1)^2 = tfrac12,(x+3)
Aqui o vértice é (h,k)=(-3,-1) e, comparando com
(y-k)^2=4p,(x-h), temos 4p=tfrac12, logo
p = 18

Passo 4

Na parábola horizontal que abre para a direita, o foco e a diretriz valem
Foco: (h+p,;k) ;=;l(-3+tfrac18,;-1r) ;=;l(-tfrac238,,-1r),
Diretriz: x = h - p ;=;-3 - tfrac18 ;=;- tfrac258

Passo 5

Para achar onde a diretriz corta o eixo x, impomos y=0 em x = -tfrac258.
Logo o ponto de interseção é l(-tfrac258,0r), isto é, a diretriz cruza o eixo x em
x = -tfrac258

Resposta

(a) Foco l(-tfrac238,-1r).
(b) A diretriz corta o eixo x em x=-tfrac258.

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