Considere a cônica de equação polar dada por
(a) Identifique essa cônica (se é elipse, circunferência, parábola, hipérbole ou degenerada);
(b) Quais o focos dessa cônica?
(b) Quais o focos dessa cônica?
Passo 1
O enunciado dá a cônica em coordenadas polares
e pede (a) que a gente identifique o tipo de cônica e (b) encontre os focos. Para isso vamos (i) comparar com a forma padrão
e (ii) passar para coordenadas cartesianas
para obter a equação padrão e achar os dois focos.
Passo 2
Na forma padrão de cônicas em polares com directriz horizontal temos
Comparando com
vemos que
Como a excentricidade
, trata-se de uma hipérbole.
Passo 3
Para achar o segundo foco, convertemos para Cartesianas usando
e
.
Então
Então
Isolando a raiz e elevando ao quadrado:
Reorganizando,
Passo 4
Completa-se o quadrado em
:
Dividindo por
obtemos a forma padrão de hipérbole com eixo transverso vertical:
Aqui
,
e
Passo 5
O centro da hipérbole é
e, como o eixo é vertical, os focos ficam em
ou seja em
e em
.
Resposta
(a) É uma hipérbole (excentricidade
).
(b) Os focos estão em e
.
(b) Os focos estão em