Considere a cônica de equação polar dada por
r=21+2 sen(theta)
(a) Identifique essa cônica (se é elipse, circunferência, parábola, hipérbole ou degenerada);
(b) Quais o focos dessa cônica?

Passo 1

O enunciado dá a cônica em coordenadas polares
r = 21 + 2sintheta
e pede (a) que a gente identifique o tipo de cônica e (b) encontre os focos. Para isso vamos (i) comparar com a forma padrão r = ed1 + esintheta e (ii) passar para coordenadas cartesianas (x,y) para obter a equação padrão e achar os dois focos.

Passo 2

Na forma padrão de cônicas em polares com directriz horizontal temos
r = ed1 + esintheta
Comparando com r = 21 + 2sintheta vemos que
ed = 2 e e = 2
Como a excentricidade e = 2 > 1, trata-se de uma hipérbole.

Passo 3

Para achar o segundo foco, convertemos para Cartesianas usando
r = raizx^2 + y^2 e rsintheta = y.
Então
raizx^2 + y^2 + 2y = 2
Isolando a raiz e elevando ao quadrado:
raizx^2 + y^2 = 2 - 2y Longrightarrow x^2 + y^2 = (2 - 2y)^2 = 4 - 8y + 4y^2
Reorganizando,
x^2 - 3y^2 + 8y - 4 = 0

Passo 4

Completa-se o quadrado em y:
x^2 -3l(y^2 - tfrac83yr) -4 = 0 ;Longrightarrow; x^2 -3l(y - tfrac43r)^2 + tfrac43 = 0 ;Longrightarrow; 3l(y - tfrac43r)^2 - x^2 = tfrac43
Dividindo por tfrac43 obtemos a forma padrão de hipérbole com eixo transverso vertical:
(y - tfrac43)^2l(tfrac23r)^2 ;-; x^2tfrac43 =1
Aqui a = tfrac23, b = tfrac2raiz3 e
c = raiza^2 + b^2 = raiztfrac49 + tfrac43 = tfrac43

Passo 5

O centro da hipérbole é l(0,tfrac43r) e, como o eixo é vertical, os focos ficam em
l(0,tfrac43 pm cr) = l(0,tfrac43 pm tfrac43r),
ou seja em (0,0) e em l(0,tfrac83r).

Resposta

(a) É uma hipérbole (excentricidade e=2>1).
(b) Os focos estão em ,(0,0), e ,(0,tfrac83).

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