Considere a elipse de equação
l x=14 cos (t)-1 y=12 sen(t)+2 , t in R
(a) Determine os vértices;
(b) Determine os focos.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
x = tfrac14cos(t) - 1, y = tfrac12sin(t) + 2,
que é uma elipse centrada em (h,k)=(-1,2) com semi-eixo em x de comprimento a=tfrac14 e em y de comprimento b=tfrac12. Precisamos usar as fórmulas padrão de vértices e focos de uma elipse.

Passo 2

Identificamos que a=tfrac14 e b=tfrac12. Como b>a, o eixo maior é vertical. O centro é (h,k)=(-1,2).

Passo 3

Os vértices ficam a uma distância a do centro ao longo do eixo menor (horizontal) e a uma distância b ao longo do eixo maior (vertical). Logo os quatro vértices são
l(-1pm tfrac14,,2r) e l(-1,,2pm tfrac12r)

Passo 4

O parâmetro focal é
c = raizb^2 - a^2 = raizl(tfrac12r)^2 - l(tfrac14r)^2 = raiztfrac14-tfrac116 = tfracraiz34
Como o eixo maior é vertical, os focos estão em
l(-1,,2pm tfracraiz34r)

Resposta

(a) Os vértices são l(-1pm tfrac14,2r) e l(-1,2pm tfrac12r).
(b) Os focos são l(-1,2pm tfracraiz34r).

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