Seja dada uma cônica S de equação
a x^2+b x y+c y^2+d x+e y+f=0
Seja P=(x, y) um ponto de S.
Mostre que se a reta tangente a S em P é horizontal, então P pertence à reta de equação 2 a x+b y+d=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica
S:;a x^2+b x y+c y^2+d x+e y+f=0
e pede para mostrar que, se em P=(x,y)in S a reta tangente é horizontal, então necessariamente
2a x + b y + d = 0
O conteúdo envolvido é derivação implícita e condição de inclinação zero para reta tangente.

Passo 2

Defina a função implícita
F(x,y) = a x^2 + b x y + c y^2 + d x + e y + f
Como P está em S, vale F(x,y)=0. Derivando em relação a x e lembrando que y é função de x, obtemos
ddxF(x,y)=Fx + Fy,dydx=0
ou seja
dydx = -FxFy
Aqui
Fx = 2a x + b y + d, Fy = b x + 2c y + e

Passo 3

Para que a reta tangente seja horizontal, sua inclinação deve ser zero, isto é
dydx=0
Da fórmula acima, isso ocorre exatamente quando
Fx = 0,
logo
2a x + b y + d = 0
Isso mostra que P pertence à reta de equação indicada.

Resposta

2a x + b y + d = 0

Exercícios relacionados