Considere a cônica de equação 21 x^2+6 x y+13 y^2=132. Via o processo de diagonalização, determine tal equaçāo em um novo sistema de coordenadas ortogonais e identifique tal cônica.

Passo 1

O enunciado dá a cônica
21x^2+6xy+13y^2=132
e pede que a transformemos num novo sistema ortogonal em que não haja termo xy. O conteúdo é diagonalização de matriz simétrica para eliminar o termo misto. Vamos representar a forma quadrática por uma matriz A, achar sua base ortonormal de autovetores e escrever a equação em coordenadas principais.

Passo 2

Associamos a forma quadrática à matriz
A = 21 & 3 [6pt] 3 & 13,
pois
x & y A x y =21x^2+2cdot3,xy+13y^2
Em seguida, calculamos os autovalores resolvendo
det(A-lambda I)=0 ;Longrightarrow; det!21-lambda & 3 [3pt]3 & 13-lambda=0 ]

Passo 3

Expandindo o determinante, obtemos
(21-lambda)(13-lambda)-9=0 ;Longrightarrow; lambda^2-34lambda+264=0
O discriminante é
De<a =34^2-4cdot264=1156-1056=100,
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lambda1,2=34pm102 ;Longrightarrow; lambda1=22, lambda2=12

Passo 4

Para
isto é . Para , segue dando , ou seja, . Normalizando esses vetores, obtemos uma rotação de ângulo tal que
isto é .

Passo 5

Definimos as novas coordenadas por
Na base de autovetores, a forma quadrática vira
Dividindo ambos os lados por , chega-se a
]

Passo 6

A equação tfracu^26+tfracv^211=1 é a forma padrão de uma elipse com semi-eixos raiz6 e raiz11 ao longo dos eixos u e v.

Resposta

A cônica no novo sistema ortogonal é
22,u^2+12,v^2=132 Long<=ftrightarrow u^26+v^211=1,
e trata-se de uma elipse.

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