Considere a cônica de equação
. Via o processo de diagonalização, determine tal equaçāo em um novo sistema de coordenadas ortogonais e identifique tal cônica.
Passo 1
O enunciado dá a cônica
e pede que a transformemos num novo sistema ortogonal em que não haja termo
. O conteúdo é diagonalização de matriz simétrica para eliminar o termo misto. Vamos representar a forma quadrática por uma matriz
, achar sua base ortonormal de autovetores e escrever a equação em coordenadas principais.
Passo 2
Associamos a forma quadrática à matriz
pois
Em seguida, calculamos os autovalores resolvendo
Passo 3
Expandindo o determinante, obtemos
O discriminante é
logo
Passo 4
Para
isto é . Para
, segue
dando
, ou seja,
. Normalizando esses vetores, obtemos uma rotação de ângulo
tal que
isto é
.
Passo 5
Definimos as novas coordenadas
por
Na base de autovetores, a forma quadrática vira
Dividindo ambos os lados por
, chega-se a
Passo 6
A equação
é a forma padrão de uma elipse com semi-eixos
e
ao longo dos eixos
e
.
Resposta
A cônica no novo sistema ortogonal é
e trata-se de uma elipse.