a) Método de Substituição; b) Método de Cancelamento; c) Método de eliminação de Gauss; d) Método de Eliminação de Gauss-Jordan; e) Regra de Cramer. Caso algum destes métodos não possa ser aplicado ao sistema de equações lineares, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado apresenta dois sistemas lineares em três incógnitas :
(I)
e
(II)
2x-y-4z=2, 4x-2y-6z=5, 6x-3y-8z=8
Precisamos resolver cada sistema pelos métodos:
a) substituição,
b) cancelamento,
c) eliminação de Gauss,
d) eliminação de Gauss–Jordan,
e) regra de Cramer.
Se algum método não for aplicável, explicamos o motivo.
Passo 2
Método da substituição para o sistema (I). Da primeira equação isolamos
Análise do sistema (II). A matriz de coeficientes é 2&-1&-44&-2&-66&-3&-8.
Calcula-se
De<a=det2&-1&-44&-2&-66&-3&-8=0,
logo não há solução única; o sistema é dependente.
Passo 8
Método da substituição para (II). Da equação (1):
2x-y-4z=2implies y=2x-4z-2
Substituindo em (2):
4x-2(2x-4z-2)-6z=5implies 2z=1implies z=tfrac12
Então y=2x-4 e x fica livre, digamos x=t. Assim (x,y,z)=(t,,2t-4,,tfrac12).
Passo 9
Método do cancelamento para (II). Fazendo (2)-2cdot(1) e (3)-3cdot(1) obtém-se duas vezes a equação 2z=1, de onde z=tfrac12. As três equações se reduzem a
2x-y=4, z=tfrac12,
com x livre e y=2x-4, dando o mesmo conjunto de soluções.
Passo 10
Eliminação de Gauss para (II). Matriz aumentada leva, após , , a
Isto dá e uma linha redundante, de modo que é parâmetro e .
Passo 11
Eliminação de Gauss–Jordan para (II). Continuando a redução chega-se a
de onde , , livre.
Passo 12
Regra de Cramer para (II). Como De<a=0, não é possível aplicar Cramer (não há solução única).
Resposta
Sistema (I): solução única
(x,y,z)=(2,,1,,tfrac12)
Sistema (II): infinitas soluções
(x,y,z)=(t,,2t-4,,tfrac12), tinR
A regra de Cramer não se aplica ao sistema (II) porque o determinante da matriz de coeficientes é zero.