Resolva os sistemas
x+y+2 z=4
(I) 2 x+3 y+6 z=10
3 x+6 y+10 z=17
2 x-y-4 z=2
(II) 4 x-2 y-6 z=5
6 x-3 y-8 z=8
a) Método de Substituição; b) Método de Cancelamento; c) Método de eliminação de Gauss; d) Método de Eliminação de Gauss-Jordan; e) Regra de Cramer. Caso algum destes métodos não possa ser aplicado ao sistema de equações lineares, explique o porquê.

Passo 1

O enunciado apresenta dois sistemas lineares em três incógnitas x,y,z:
(I)
x+y+2z=4, 2x+3y+6z=10, 3x+6y+10z=17,
e
(II)
2x-y-4z=2, 4x-2y-6z=5, 6x-3y-8z=8
Precisamos resolver cada sistema pelos métodos:
a) substituição,
b) cancelamento,
c) eliminação de Gauss,
d) eliminação de Gauss–Jordan,
e) regra de Cramer.
Se algum método não for aplicável, explicamos o motivo.

Passo 2

Método da substituição para o sistema (I). Da primeira equação isolamos
x=4-y-2z
Substituindo em (2) e (3) obtém-se
2(4-y-2z)+3y+6z=10implies y+2z=2implies y=2-2z,
3(4-y-2z)+6y+10z=17implies 3y+4z=5implies y=5-4z3
Igualando as duas expressões de y:
2-2z=5-4z3implies z=tfrac12, y=1, x=4-1-2cdottfrac12=2

Passo 3

Método do cancelamento para (I). Multiplicamos (1) por 2 e subtraímos de (2), depois multiplicamos (1) por 3 e subtraímos de (3):
(2)-2cdot(1):;y+2z=2,
(3)-3cdot(1):;3y+4z=5
Agora eliminamos y:
(3y+4z)-3(y+2z)=5-6implies -2z=-1implies z=tfrac12,;y=2-2z=1,
e então x=4-y-2z=2.

Passo 4

Eliminação de Gauss para (I). Matriz aumentada inicial:
Fazendo
, obtemos
Depois
resulta em
Retro-substituindo: , , .

Passo 5

Eliminação de Gauss–Jordan para (I). A partir da forma triangular, fazemos
,
,
,
, chegando a
logo , , .

Passo 6

Regra de Cramer para (I). Calcula-se
De<a=det1&1&22&3&63&6&10=-2neq0,
De<ax=det4&1&210&3&617&6&10=-4, De<ay=det1&4&22&10&63&17&10=-2,
De<az=det1&1&42&3&103&6&17=-1
Portanto
x=De<axDe<a=2, y=De<ayDe<a=1, z=De<azDe<a=tfrac12

Passo 7

Análise do sistema (II). A matriz de coeficientes é
2&-1&-44&-2&-66&-3&-8.
Calcula-se
De<a=det2&-1&-44&-2&-66&-3&-8=0,
logo não há solução única; o sistema é dependente.

Passo 8

Método da substituição para (II). Da equação (1):
2x-y-4z=2implies y=2x-4z-2
Substituindo em (2):
4x-2(2x-4z-2)-6z=5implies 2z=1implies z=tfrac12
Então y=2x-4 e x fica livre, digamos x=t. Assim
(x,y,z)=(t,,2t-4,,tfrac12).

Passo 9

Método do cancelamento para (II). Fazendo
(2)-2cdot(1) e (3)-3cdot(1) obtém-se duas vezes a equação 2z=1, de onde z=tfrac12. As três equações se reduzem a
2x-y=4, z=tfrac12,
com x livre e y=2x-4, dando o mesmo conjunto de soluções.

Passo 10

Eliminação de Gauss para (II). Matriz aumentada
leva, após
,
, a
Isto dá e uma linha redundante, de modo que é parâmetro e .

Passo 11

Eliminação de Gauss–Jordan para (II). Continuando a redução chega-se a
de onde , , livre.

Passo 12

Regra de Cramer para (II). Como
De<a=0, não é possível aplicar Cramer (não há solução única).

Resposta

Sistema (I): solução única
(x,y,z)=(2,,1,,tfrac12)
Sistema (II): infinitas soluções
(x,y,z)=(t,,2t-4,,tfrac12), tinR
A regra de Cramer não se aplica ao sistema (II) porque o determinante da matriz de coeficientes é zero.

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