(2) Sendo A(-2,4) e B(4,1) extremidades de um segmento, determinar os pontos F e G que dividem A B em três segmentos de mesmo comprimento.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. A gente tem um segmento de reta com as extremidades nos pontos A(-2, 4) e B(4, 1) . A missão é encontrar dois pontos, F e G , que dividam esse segmento em três partes iguais. Para isso, vamos usar um conceito de geometria analítica que nos permite dividir um segmento em partes iguais usando fórmulas matemáticas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como dividir um segmento em partes iguais. Quando a gente quer dividir um segmento em n partes iguais, cada ponto de divisão está a uma fração 1n , 2n , etc., do comprimento total do segmento a partir de uma das extremidades.

Passo 3

No nosso caso, queremos dividir o segmento AB em 3 partes iguais. Isso significa que F vai estar a 13 do caminho de A até B e G vai estar a 23 desse caminho.

Passo 4

Para encontrar as coordenadas de F e G , vamos usar a fórmula da divisão de um segmento em proporções. A fórmula geral para encontrar o ponto P que divide o segmento AB na razão m:n é:
P( m xB + n xAm + n, m yB + n yAm + n )

Passo 5

Começando com o ponto F , que divide AB na razão 1:2 (já que F está a 13 do caminho):
F( 1 cdot 4 + 2 cdot (-2)1 + 2, 1 cdot 1 + 2 cdot 41 + 2 )
Calculando cada coordenada:
xF = 4 + (-4)3 = 03 = 0
yF = 1 + 83 = 93 = 3
Então, F = (0, 3) .

Passo 6

Agora, vamos encontrar o ponto G , que divide AB na razão 2:1 (já que G está a 23 do caminho):
G( 2 cdot 4 + 1 cdot (-2)2 + 1, 2 cdot 1 + 1 cdot 42 + 1 )
Calculando cada coordenada:
xG = 8 + (-2)3 = 63 = 2
yG = 2 + 43 = 63 = 2
Então, G = (2, 2) .

Resposta

Os pontos F e G que dividem o segmento AB em três partes iguais são:
F(0, 3) e G(2, 2)

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