Considere a elipse E de equação (x^prime)^25+(y^prime)^220=1 em relação ao sistema x^prime O y^prime, o qual possui o ponto A=(1,2) no eixo ox ^prime. Determine:
Esboce o gráfico da elipse.

Passo 1

O enunciado dá a elipse
(x')^25+(y')^220=1
referente ao sistema de coordenadas x'Oy', cuja direção positiva do eixo x' é o vetor que vai de O até A=(1,2) no sistema original. Vamos esboçar essa elipse no plano x'y'.

Passo 2

Identificamos os semieixos da elipse comparando com a forma padrão
(x')^2b^2+(y')^2a^2=1, a>= b
Aqui b^2=5 e a^2=20. Logo
b=raiz5, a= raiz20=2raiz5

Passo 3

As interseções principais da elipse com os eixos x' e y' são
(x',y')=(pm b,0)=(pmraiz5,0), (x',y')=(0,pm a)=(0,pm2raiz5)

Passo 4

Como o ponto A=(1,2) do sistema original define a direção positiva de x', seu comprimento neste eixo é
|OA|=raiz1^2+2^2=raiz5=b
Portanto A coincide com o ponto (raiz5,0) na elipse, confirmando que esse é o extremo do semieixo menor.

Passo 5

Para esboçar, siga estes passos no plano x'y':
  1. Desenhe dois eixos perpendiculares e marque o ponto O em sua interseção.
  2. No eixo horizontal x', marque raiz5 à direita e -raiz5 à esquerda.
  3. No eixo vertical y', marque 2raiz5 acima e -2raiz5 abaixo.
  4. Esboce uma curva oval suave que passe por esses quatro pontos, simétrica em relação aos eixos.

Resposta

O esboço da elipse é um oval centrado em O, com interceptos em
(pmraiz5,0)e(0,pm2raiz5),
conforme descrito acima.

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