Considere a cônica de equação 4 y^2+16 y+x^2+8 x+28=0. Determine em relação sistema x O y :
As coordenadas dos vértices, focos e extremos do eixo menor.

Passo 1

O enunciado dá a cônica
4y^2+16y+x^2+8x+28=0
e pede vértices, focos e extremos do eixo menor no sistema xOy. Aqui o conteúdo é identificar que se trata de uma elipse, completar quadrados para achar sua forma canónica e daí extrair centro, semi-eixos e focos.

Passo 2

Vamos completar quadrados em x e y. Escrevendo
x^2+8x ;+;4l(y^2+4yr);+;28=0
temos
x^2+8x=(x+4)^2-16,
y^2+4y=(y+2)^2-4,
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x^2+8x+4(y^2+4y)= (x+4)^2-16 ;+;4l((y+2)^2-4r) = (x+4)^2+4(y+2)^2-16-16

Passo 3

Substituindo de volta na equação original:
(x+4)^2+4(y+2)^2-32+28=0 Longrightarrow (x+4)^2+4(y+2)^2=4
Dividindo por 4, obtemos a forma canónica
(x+4)^24 ;+;(y+2)^21=1

Passo 4

Da forma
(x+4)^2a^2+(y+2)^2b^2=1
vemos que a^2=4, b^2=1, de modo que
a=2, b=1
O centro da elipse é
C=(-4,-2)
Para os focos, calculamos
c^2=a^2-b^2=4-1=3, c=raiz3
Como a>b, o eixo maior é horizontal.

Passo 5

Os vértices do eixo maior são Cpm(a,0), isto é,
V1=(-4-2,,-2)=(-6,-2), V2=(-4+2,,-2)=(-2,-2)

Passo 6

Os focos ficam em Cpm(c,0), ou seja,
F1=(-4-raiz3,,-2), F2=(-4+raiz3,,-2)

Passo 7

Os extremos do eixo menor são Cpm(0,b), logo
M1=(-4,,-2-1)=(-4,-3), M2=(-4,,-2+1)=(-4,-1)

Resposta

Centro: (-4,-2)
Vértices (eixo maior): (-6,-2) e (-2,-2)
Focos: l(-4-raiz3,-2r) e l(-4+raiz3,-2r)
Extremos do eixo menor: (-4,-3) e (-4,-1)

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