Sejam alpha e beta parâmetros reais. Discuta os seguintes sistemas lineares:
lx+y-beta z=0 beta x+y-z=2-beta x+beta y-z=-beta

Passo 1

O enunciado pede a discussão do sistema linear em três incógnitas x,y,z que depende do parâmetro real beta. O conteúdo usado será operações elementares sobre a matriz dos coeficientes, cálculo do determinante para verificar existência e unicidade de solução, e eliminação de Gauss para obter a solução quando ela existe.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes A e o vetor de termos independentes b:
A = 1 & 1 & -beta [6pt] beta & 1 & -1 [3pt] 1 & beta & -1 , b = 0 [3pt] 2-beta [3pt] -beta
Calculamos o determinante de A por desenvolvimento:
det(A) = -beta^3 + 3beta - 2 = -l(beta^3 -3beta +2r) = -(beta-1)^2(beta+2) ]

Passo 3

Do fator det(A)=-(beta-1)^2(beta+2) segue:
  • Se betaneq 1 e betaneq -2, então det(A)neq 0 e o sistema tem solução única.
  • Se beta=1 ou beta=-2, então det(A)=0 e devemos verificar a consistência do sistema (rank de A vs. rank augmentada).

Passo 4

Caso
Substituindo em ª e ª equações obtemos, após simplificar e dividir por ,
Resolvendo esse sistema em (y,z] dá

Finalmente,
]

Passo 5

Para beta=1 ou beta=-2 temos det(A)=0. Substituindo:
  • Se beta=1, as três equações reduzem a x+y-z=0, x+y-z=1, x+y-z=-1, que são contraditórias.
  • Se beta=-2, obtemos x+y+2z=0, -2x+y-z=4, x-2y-z=2, que também levam a duas equações contraditórias para y+z. Logo não há solução.

Resposta

Para betaneq 1 e betaneq -2 o sistema tem solução única dada por
x = -beta^2+2beta+2(beta-1)(beta+2), y = -beta^2+2(beta-1)(beta+2), z = -2beta+2
Para beta=1 ou beta=-2 o sistema é incompatível (não há solução).

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