(a) Reduza a equação a uma forma mais simples, por meio de translação e rotação.
(b) Encontre o ângulo de rotação.
(c) Qual é o nome da cônica encontrada?
(d) Apresente um esboço da cônica no sistema de coordenadas (x, y). Marque os pontos em que a cônica intercepta o eixo- x e o eixo- y, caso tais pontos existam.
Passo 1
O enunciado dá a cônica
8y^{2} + 6xy -12x -26y +11 = 0
e pede: (a) reduzir por translação e rotação; (b) achar o ângulo de rotação; (c) identificar o tipo de cônica; (d) esboçar marcando interseções com eixos.
Passo 2
Para eliminar os termos lineares, achamos o centro resolvendo
y = \frac{26\pm18}{16} \;\Longrightarrow\; y_{1}=\frac{44}{16}=\tfrac{11}{4}, \quad y_{2}=\frac{8}{16}=\tfrac{1}{2}.
Pontos \bigl(0,\tfrac{1}{2}\bigr) e \bigl(0,\tfrac{11}{4}\bigr).
Passo 8
No esboço, o centro está em (-1,2). A hipérbole abre no eixo u (direção rotacionada em \theta \approx -18{,}435^\circ). Marcam-se também os interceptos \bigl(\tfrac{11}{12},0\bigr), \bigl(0,\tfrac12\bigr) e \bigl(0,\tfrac{11}{4}\bigr).
Resposta
(a) Forma reduzida:
\frac{u^{2}}{1}\;-\;\frac{v^{2}}{9}=1,
após translação (x,y)\to (X,Y)=(x+1,y-2) e rotação de eixos (X,Y)\to(u,v).
(b) \theta satisfaz \tan(2\theta)=-\tfrac{3}{4}, logo \theta\approx -18{,}435^\circ.
(c) É uma hipérbole.
(d) Interceptos: (x,0)=(\tfrac{11}{12},0), (0,y)=(0,\tfrac12) e (0,\tfrac{11}{4}). Esboço centrado em (-1,2) e eixos rotacionados em \theta.