Considere a cônica de equação:
8 y^{2}+6 x y-12 x-26 y+11=0 .
(a) Reduza a equação a uma forma mais simples, por meio de translação e rotação.
(b) Encontre o ângulo de rotação.
(c) Qual é o nome da cônica encontrada?
(d) Apresente um esboço da cônica no sistema de coordenadas (x, y). Marque os pontos em que a cônica intercepta o eixo- x e o eixo- y, caso tais pontos existam.

Passo 1

O enunciado dá a cônica
8y^{2} + 6xy -12x -26y +11 = 0
e pede: (a) reduzir por translação e rotação; (b) achar o ângulo de rotação; (c) identificar o tipo de cônica; (d) esboçar marcando interseções com eixos.

Passo 2

Para eliminar os termos lineares, achamos o centro resolvendo
\frac{\partial}{\partial x}(8y^{2}+6xy-12x-26y+11)=6y-12=0,
\frac{\partial}{\partial y}(8y^{2}+6xy-12x-26y+11)=16y+6x-26=0.
Da primeira vem y=2. Substituindo na segunda:
16\cdot2 +6x -26=0\;\Longrightarrow\;6x =-6\;\Longrightarrow\;x=-1.
Logo o centro é (-1,2).

Passo 3

Fazemos a translação
X = x+1, \quad Y = y-2.
Substituindo em 8y^{2}+6xy-12x-26y+11=0 e simplificando, obtemos
8Y^{2} + 6XY -9 = 0.

Passo 4

Escrevemos a parte quadrática em forma matricial com
A=0,\;B=6,\;C=8,
ou seja a matriz
\begin{pmatrix} 0 & 3\\\\ 3 & 8 \end{pmatrix}.
Seus autovalores são as raízes de \lambda^{2}-8\lambda-9=0, dando
\lambda_{1}=9,\quad \lambda_{2}=-1.
Após rotação, a equação diagonaliza para
9\,u^{2} \;-\;1\,v^{2}\;-\;9 \;=\;0 \quad\Longrightarrow\quad u^{2} - \frac{v^{2}}{9} = 1,
que é a forma reduzida.

Passo 5

O ângulo de rotação \theta satisfaz
\tan(2\theta) = \frac{B}{A - C} = \frac{6}{0-8} = -\frac{3}{4},
logo
2\theta = \arctan\!\bigl(-\tfrac{3}{4}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \theta \approx -18{,}435^\circ.

Passo 6

Como a forma reduzida
\frac{u^{2}}{1} \; - \; \frac{v^{2}}{9} = 1,
trata‐se de uma hipérbole.

Passo 7

Interseções com os eixos no sistema original:
  • Eixo x ( y=0):
8\cdot0 +6x\cdot0 -12x -26\cdot0 +11=0 \;\Longrightarrow\; -12x +11=0 \;\Longrightarrow\; x=\tfrac{11}{12}.
Ponto \bigl(\tfrac{11}{12},0\bigr).
  • Eixo y ( x=0):
8y^{2} -26y +11=0
\Delta =(-26)^{2}-4\cdot8\cdot11=676-352=324,
y = \frac{26\pm18}{16} \;\Longrightarrow\; y_{1}=\frac{44}{16}=\tfrac{11}{4}, \quad y_{2}=\frac{8}{16}=\tfrac{1}{2}.
Pontos \bigl(0,\tfrac{1}{2}\bigr) e \bigl(0,\tfrac{11}{4}\bigr).

Passo 8

No esboço, o centro está em (-1,2). A hipérbole abre no eixo u (direção rotacionada em \theta \approx -18{,}435^\circ). Marcam-se também os interceptos \bigl(\tfrac{11}{12},0\bigr), \bigl(0,\tfrac12\bigr) e \bigl(0,\tfrac{11}{4}\bigr).

Resposta

(a) Forma reduzida:
\frac{u^{2}}{1}\;-\;\frac{v^{2}}{9}=1,
após translação (x,y)\to (X,Y)=(x+1,y-2) e rotação de eixos (X,Y)\to(u,v).
(b) \theta satisfaz \tan(2\theta)=-\tfrac{3}{4}, logo \theta\approx -18{,}435^\circ.
(c) É uma hipérbole.
(d) Interceptos:
(x,0)=(\tfrac{11}{12},0),
(0,y)=(0,\tfrac12) e (0,\tfrac{11}{4}). Esboço centrado em (-1,2) e eixos rotacionados em \theta.

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