Verificar quais das seguintes matrizes são ortogonais e, dentre estas, determinar as que representam rotações:
\left[\begin{array}{ll}\frac{1}{\sqrt{10}} & \frac{3}{\sqrt{10}} \\\\ -\frac{3}{\sqrt{10}} & \frac{1}{\sqrt{10}}\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede verificar se a matriz
A = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{10}} & \frac{3}{\sqrt{10}} \\[4pt] -\frac{3}{\sqrt{10}} & \frac{1}{\sqrt{10}} \end{pmatrix}
é ortogonal e, dentre as ortogonais, quais representam rotações. Para isso, vamos usar:
A é ortogonal se A^{T}A = I.
– Uma matriz ortogonal representa rotação se \det(A)=1.]

Passo 2

Calcular A^{T}A. Primeiro escrevemos
A^{T} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{10}} & -\frac{3}{\sqrt{10}} \\[4pt] \frac{3}{\sqrt{10}} & \frac{1}{\sqrt{10}} \end{pmatrix}.
Então
A^{T}A = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{10}} & -\frac{3}{\sqrt{10}} \\[4pt] \frac{3}{\sqrt{10}} & \frac{1}{\sqrt{10}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{10}} & \frac{3}{\sqrt{10}} \\[4pt] -\frac{3}{\sqrt{10}} & \frac{1}{\sqrt{10}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix}.
Logo, A^{T}A=I e A é ortogonal.]

Passo 3

Calcular \det(A) usando a regra para matrizes 2\times2:
\det(A) = \frac{1}{\sqrt{10}}\cdot\frac{1}{\sqrt{10}} - \Bigl(\frac{3}{\sqrt{10}}\Bigr)\Bigl(-\frac{3}{\sqrt{10}}\Bigr) = \frac{1}{10} + \frac{9}{10} = 1.
Como \det(A)=1, concluímos que A representa uma rotação no plano.

Resposta

A matriz é ortogonal e, como \det(A)=1, representa uma rotação de ângulo \varphi com
\cos\varphi = \tfrac{1}{\sqrt{10}} e \sin\varphi = \tfrac{3}{\sqrt{10}}.

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