Verificar quais das seguintes matrizes são ortogonais e, dentre estas, determinar as que representam rotações:
\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\\\ -\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\\ \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{2}{\sqrt{6}} & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{\sqrt{3}} & -\tfrac{1}{\sqrt{6}} & -\tfrac{1}{\sqrt{2}} \\\\ -\tfrac{1}{\sqrt{3}} & \tfrac{1}{\sqrt{6}} & -\tfrac{1}{\sqrt{2}} \\\ \tfrac{1}{\sqrt{3}} & \tfrac{2}{\sqrt{6}} & 0 \end{pmatrix}
é ortogonal e, se for, determinar se ela representa uma rotação. Vamos usar teoria de matrizes ortogonais: uma matriz é ortogonal se suas colunas formam um conjunto ortonormal e representa rotação exatamente quando seu determinante vale +1.

Passo 2

Sejam as colunas de A
c_1 = \begin{pmatrix}1/\sqrt{3}\\\ -1/\sqrt{3}\\\ 1/\sqrt{3}\end{pmatrix},\quad c_2 = \begin{pmatrix}-1/\sqrt{6}\\\ 1/\sqrt{6}\\\ 2/\sqrt{6}\end{pmatrix},\quad c_3 = \begin{pmatrix}-1/\sqrt{2}\\\ -1/\sqrt{2}\\\ 0\end{pmatrix}.
Calculamos as normas e os produtos internos:
\|c_1\|^2 = \tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3}=1, \quad \|c_2\|^2 = \tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{6}+\tfrac{4}{6}=1, \quad \|c_3\|^2 = \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}+0=1,
\langle c_1,c_2\rangle =\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{6}}\bigr) +\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr)\tfrac{1}{\sqrt{6}} +\tfrac{1}{\sqrt{3}}\tfrac{2}{\sqrt{6}}=0,
\langle c_1,c_3\rangle =\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr) +\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr)\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr) +0=0,
\langle c_2,c_3\rangle =\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{6}}\bigr)\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr) +\tfrac{1}{\sqrt{6}}\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr) +0=0.
Como todas as normas valem 1 e todos os produtos internos entre colunas são zero, as colunas de A são ortonormais.

Passo 3

A ortonormalidade das colunas implica
A^T A = I_3,
portanto A é de fato ortogonal.

Passo 4

Para saber se A representa uma rotação, calculamos o determinante por expandir em cofatores:
\det(A) = \frac{1}{\sqrt{3}}\!\Bigl(\frac{1}{\sqrt{6}}\cdot0 - (-\tfrac{1}{\sqrt{2}})\tfrac{2}{\sqrt{6}}\Bigr) - \!\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{6}}\Bigr)\!\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot0 - \tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr)\Bigr) + \!\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigr)\!\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\tfrac{2}{\sqrt{6}} - \tfrac{1}{\sqrt{6}}\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr).
Simplificando cada termo chega-se a
\det(A) = \tfrac13 + \tfrac16 + \tfrac12 = 1.
Como \det(A)=+1, A pertence ao grupo especial ortogonal SO(3) e, portanto, representa uma rotação em \mathbb{R}^3.

Resposta

A única matriz dada é ortogonal e, como seu determinante é +1, ela representa uma rotação.

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