Verificar quais das seguintes matrizes são ortogonais e, dentre estas, determinar as que representam rotações:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a matriz
é ortogonal e, se for, determinar se ela representa uma rotação. Vamos usar teoria de matrizes ortogonais: uma matriz é ortogonal se suas colunas formam um conjunto ortonormal e representa rotação exatamente quando seu determinante vale
.
Passo 2
Sejam as colunas de
Calculamos as normas e os produtos internos:
Como todas as normas valem
e todos os produtos internos entre colunas são zero, as colunas de
são ortonormais.
Passo 3
A ortonormalidade das colunas implica
portanto
é de fato ortogonal.
Passo 4
Para saber se
representa uma rotação, calculamos o determinante por expandir em cofatores:
Simplificando cada termo chega-se a
Como
,
pertence ao grupo especial ortogonal
e, portanto, representa uma rotação em
.
Resposta
A única matriz dada é ortogonal e, como seu determinante é
, ela representa uma rotação.