Considere a cônica
C: 5 x^2-6 x y-3 y^2+6 raiz10 x+6 raiz10 y-6=0
Fazendo as mudanças adequadas de variáveis, encontre uma equação reduzida para C.

Passo 1

O enunciado dá a cônica
5x^2-6xy-3y^2+6raiz10,x+6raiz10,y-6=0
e pede uma equação reduzida.
Conteúdo: identificação de conica geral, eliminação do termo cruzado via rotação de eixos, depois translação para achar o centro e completar quadrados.

Passo 2

Para eliminar o termo em xy fazemos uma rotação de eixos
x = Xcostheta - Ysintheta, y = Xsintheta + Ycostheta
onde theta satisfaz
tan(2theta)=BA-C =-65-(-3)=-68=-34
Escolhendo o sinal correto, obtemos
costheta=3raiz10, sintheta=-1raiz10

Passo 3

Substituindo na parte quadrática ;5x^2-6xy-3y^2; calcula-se
A'=5cos^2theta+(-6)costhetasintheta-3sin^2theta=6,
C'=5sin^2theta-(-6)costhetasintheta-3cos^2theta=-4
Também as partes lineares
6raiz10,x+6raiz10,y =6raiz10,3X+Yraiz10 +6raiz10,-X+3Yraiz10 =12X+24Y
Logo a equação em (X,Y) vira
6X^2-4Y^2+12X+24Y-6=0

Passo 4

Agora completamos quadrados em X e em Y. Escrevemos
6X^2+12X=6l(X^2+2Xr) =6l[(X+1)^2-1r] =6(X+1)^2-6,
-4Y^2+24Y=-4l(Y^2-6Yr) =-4l[(Y-3)^2-9r] =-4(Y-3)^2+36
Substituindo de volta:
6(X+1)^2-6-4(Y-3)^2+36-6=0 ;Longrightarrow; 6(X+1)^2-4(Y-3)^2+24=0

Passo 5

Isolando o termo constante e dividindo por 24:
6(X+1)^2-4(Y-3)^2+24=0 ;Longrightarrow; 6(X+1)^2-4(Y-3)^2=-24 ;Longrightarrow; (Y-3)^26-(X+1)^24=1

Resposta

A equação reduzida, em eixos rotacionados e transladados (X,Y), é
(Y-3)^26-(X+1)^24=1

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