Identifique e esboce a curva dada pela equação.
x^2+y^2+6x-4y-12=0

Passo 1

O enunciado dá a equação da curva
x^2 + y^2 + 6x - 4y - 12 = 0
e pede para identificá-la e esboçá-la. Como os coeficientes de x^2 e y^2 são iguais e não há termo xy, suspeitamos que seja uma circunferência. Vamos completar quadrados para confirmar e extrair centro e raio.

Passo 2

Agrupamos termos em x e em y e completamos o quadrado:
x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9,
y^2 - 4y = (y - 2)^2 - 4
Substituindo na equação original:
(x+3)^2 - 9 ;+;(y-2)^2 - 4;-;12 = 0
Longrightarrow (x+3)^2 + (y-2)^2 -25 = 0
Longrightarrow (x+3)^2 + (y-2)^2 = 25

Passo 3

A forma (x - x0)^2 + (y - y0)^2 = R^2 é a equação de uma circunferência de centro (x0,y0) e raio R. Aqui identificamos
x0 = -3, y0 = 2, R = 5

Passo 4

Para esboçar a circunferência:
  1. Marque o centro em (-3,2).
  2. Aplique o raio 5 nos quatro pontos cardeais:
    ( -3+5,,2 ) = (2,2),
    ( -3-5,,2 ) = (-8,2),
    ( -3,,2+5 ) = (-3,7),
    ( -3,,2-5 ) = (-3,-3)
  3. Ligue suavemente esses pontos formando o círculo.

Resposta

A curva é uma circunferência de centro (-3,2) e raio 5.

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