Identifique e esboce a curva dada pela equação.
3x^2+2y^2+18x-8y+29=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação da curva
3x^2+2y^2+18x-8y+29=0
O conteúdo é identificação de cônicas por meio de “completar quadrados” para revelar a forma canônica (aqui deverá sair uma elipse).

Passo 2

Agrupamos termos em x e em y e completamos o quadrado em cada grupo:
3x^2+18x = 3l(x^2+6xr) =3l((x+3)^2-9r) =3(x+3)^2-27
2y^2-8y = 2l(y^2-4yr) =2l((y-2)^2-4r) =2(y-2)^2-8

Passo 3

Substituindo na equação original:
3(x+3)^2-27 ;+;2(y-2)^2-8 ;+;29 =0
Simplificando constantes -27-8+29=-6, fica
3(x+3)^2+2(y-2)^2-6=0 ;Longrightarrow; 3(x+3)^2+2(y-2)^2=6
Dividindo por 6:
(x+3)^22 ;+;(y-2)^23=1

Passo 4

Essa é a forma canônica de uma elipse centrada em (-3,2). Os semi-eixos são
b = raiz2(eixo horizontal), a = raiz3(eixo vertical)
Os vértices estão em l(-3,,2pmraiz3r) e os co-vértices em l(-3pmraiz2,,2r).

Passo 5

Para esboçar, marque no plano o centro (-3,2), depois suba e desça raiz3approx1,73 para os vértices e vá à direita e à esquerda raiz2approx1,41 para os co-vértices, e trace suavemente a curva fechada que passa por esses quatro pontos.

Resposta

A curva é uma elipse de equação canônica
(x+3)^22 + (y-2)^23 =1,
com centro em (-3,2), semi-eixo horizontal raiz2 e semi-eixo vertical raiz3.

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