Considere a cônica
a x^2+b x y+c y^2+d x+e y+f=0
com b neq 0. Seja 0^circ<theta<90^circ. A transformação linear A: R^2 R^2, dada por
A(x^prime, y^prime)=(x^prime cos theta-y^prime sen theta, x^prime sen theta+y^prime cos theta)=(x, y)
corresponde com uma rotação de ângulo theta entre os sistemas (x^prime, y^prime) e (x, y).
Substituindo os valores de x e y na cônica acima, a cônica terá a forma
a^prime x^prime 2+b^prime x^prime y^prime+c^prime y^prime 2+d^prime x^prime+e^prime y^prime+f^prime=0
Determine b^prime.

Passo 1

O enunciado dá a cônica
a x^2+b x y+c y^2+d x+e y+f=0,
com bneq0, e define a rotação
x = x'costheta - y'sintheta, y = x'sintheta + y'costheta
Queremos substituir essas expressões e achar o coeficiente b' de x'y' na forma
a' x'^2+b' x'y'+c' y'^2+d'x'+e'y'+f'=0

Passo 2

Vamos focar só na parte quadrática
Q(x,y)=a x^2+b x y+c y^2,
e substituir
x^2, x y, y^2
pelas expressões em x' e y'.

Passo 3

Usando
x = x'costheta - y'sintheta, y = x'sintheta + y'costheta,
temos:
x^2 = x'^2cos^2theta -2x'y'costhetasintheta + y'^2sin^2theta,
x y = x'^2costhetasintheta + x'y'(cos^2theta-sin^2theta) - y'^2sinthetacostheta,
y^2 = x'^2sin^2theta +2x'y'sinthetacostheta + y'^2cos^2theta

Passo 4

Agora formamos
Q = a,x^2+b,x y+c,y^2
e coletamos o termo em x'y'. De cada parte vem:
  • de a,x^2: coeficiente -2acosthetasintheta,
  • de b,x y: coeficiente b(cos^2theta-sin^2theta),
  • de c,y^2: coeficiente 2csinthetacostheta.
    Somando,
b' = -2acosthetasintheta ;+; b(cos^2theta-sin^2theta);+;2csinthetacostheta

Resposta

b' = (c - a),sin2theta ;+; b,cos2theta

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