Para as parábolas abaixo, determine a forma padrão da equação, o vértice, o foco, uma equação da diretriz e uma equação do eixo.
y=x^2-4 x+2

Passo 1

O enunciado dá a parábola
y = x^2 - 4x + 2
e pede a forma padrão (ou canônica), o vértice, o foco, a diretriz e o eixo. Vamos usar o método de completar o quadrado para escrever na forma
(x - h)^2 = 4p,(y - k),
identificar (h,k) e o parâmetro p, e daí obter foco, diretriz e eixo.

Passo 2

Completo o quadrado em x no termo do lado direito de y:
y = x^2 - 4x + 2 = l(x^2 - 4x + 4r) - 4 + 2 = (x - 2)^2 - 2
Assim a forma vértice é
y + 2 = (x - 2)^2,
que também posso reescrever como
(x - 2)^2 = 1,(y + 2)
Comparando com (x - h)^2 = 4p,(y - k), vemos h=2, k=-2 e 4p=1.

Passo 3

Calculamos p a partir de 4p=1:
p = 14
Como o coeficiente de (x-2)^2 é positivo, a parábola abre para cima.

Passo 4

Com h=2, k=-2 e p=tfrac14:
  • Vértice:
(h,k) = l(2,,-2r)
  • Foco: está a distância p acima do vértice, ou seja
foco = l(2,,-2 + tfrac14r) = l(2,,-tfrac74r)
  • Diretriz: reta horizontal a distância p abaixo do vértice,
y = -2 - tfrac14 = -tfrac94
  • Eixo de simetria: reta vertical que passa pelo vértice,
x = 2

Resposta

Forma padrão: (x - 2)^2 = 1,(y + 2)
Vértice: l(2,,-2r)
Foco: l(2,,-tfrac74r)
Diretriz: y = -tfrac94
Eixo: x = 2

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