Use diagonalização para colocar a cônica num novo sistema
, sem o termo misto
. Identifique a cônica e determine o ângulo de rotação entre os sistemas
e
.
.
Passo 1
O enunciado pede para eliminar o termo misto
na cônica
usando diagonalização de forma quadrática, identificar que tipo de cônica é e encontrar o ângulo de rotação do sistema
para
. Vamos tratar a parte quadrática como
e usar o Teorema Espectral para achar autovalores e autovetores.]
Passo 2
Calculamos os autovalores
da matriz
resolvendo
As raízes são
]
Passo 3
Para
, resolvemos
Um autovetor é
, que normalizamos para
Para
,
dando o autovetor
e o vetor unitário
]
Passo 4
Montamos a matriz de rotação
de modo que
No novo sistema, a forma quadrática ficia diagonal com autovalores
]
Passo 5
Substituindo na equação original, obtemos
Como há um termo com coeficiente positivo e outro com coeficiente negativo, trata-se de uma hipérbole.
Passo 6
O ângulo de rotação
que leva o eixo
em
para o eixo
em
satisfaz
ou seja
Resposta
A cônica é uma hipérbole.
O ângulo de rotação é
O ângulo de rotação é