Use diagonalização para colocar a cônica num novo sistema (x^prime, y^prime), sem o termo misto x y. Identifique a cônica e determine o ângulo de rotação entre os sistemas (x, y) e (x^prime, y^prime).
x^2+12 x y-4 y^2-30=0.

Passo 1

O enunciado pede para eliminar o termo misto na cônica
usando diagonalização de forma quadrática, identificar que tipo de cônica é e encontrar o ângulo de rotação do sistema para . Vamos tratar a parte quadrática como
e usar o Teorema Espectral para achar autovalores e autovetores.]

Passo 2

Calculamos os autovalores lambda da matriz
A = 1 & 6[3pt]6 & -4
resolvendo
detl(A - lambda Ir) = (1-lambda)(-4-lambda) - 6cdot6 = lambda^2 + 3lambda - 40 =0
As raízes são
lambda1 =5, lambda2 = -8
]

Passo 3

Para , resolvemos
Um autovetor é , que normalizamos para
Para ,
dando o autovetor e o vetor unitário
]

Passo 4

Montamos a matriz de rotação
de modo que
No novo sistema, a forma quadrática ficia diagonal com autovalores
]

Passo 5

Substituindo na equação original, obtemos
5,x'^2 - 8,y'^2 - 30 = 0 Long<=ftrightarrow x'^26 - y'^23,75 = 1
Como há um termo com coeficiente positivo e outro com coeficiente negativo, trata-se de uma hipérbole.

Passo 6

O ângulo de rotação theta que leva o eixo x em (x,y) para o eixo x' em (x',y') satisfaz
costheta = 3raiz13, sintheta = 2raiz13,
ou seja
theta = arctan!l(tfrac23r) approx 33,69^circ

Resposta

A cônica é uma hipérbole.
O ângulo de rotação é
theta = arctan!l(tfrac23r) approx 33,69^circ

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