Use diagonalização para colocar a cônica num novo sistema (x^prime, y^prime), sem o termo misto x y. Identifique a cônica e determine o ângulo de rotação entre os sistemas (x, y) e (x^prime, y^prime).
x^2-2 x y+y^2-x=0.

Passo 1

O enunciado pede para eliminar o termo misto xy na cônica
x^2-2xy+y^2-x=0,
usando rotação de eixos (diagonalização da forma quadrática), identificar o tipo de cônica e achar o ângulo de rotação entre (x,y) e (x',y').

Passo 2

Na forma geral
Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0
temos A=1, B=-2, C=1. O discriminante
De<a = B^2 - 4AC = (-2)^2 - 4cdot1cdot1 = 0
indica que se trata de uma parábola (porque De<a=0).

Passo 3

A parte quadrática x^2-2xy+y^2 corresponde à matriz simétrica
Q = 1 & -1 -1 & 1
Para diagonalizar, resolvemos det(Q-lambda I)=0:
(1-lambda)^2 -1 = 0 Longrightarrow lambda1 = 0,;lambda2 = 2
Os autovetores são
v1 = (1,1)(lambda1=0), v2 = (1,-1)(lambda2=2),
que definem as direções dos novos eixos sem termo misto.

Passo 4

Como
As fórmulas de rotação (sentido anti-horário) são
com (\cos\theta=\sin\theta=\tfrac1{\sqrt2}].

Passo 5

Substituindo
x = x'-y'raiz2, y = x'+y'raiz2
na equação, o quadrático vira
x^2 -2xy + y^2 = 2,y'^2,
e o termo linear fica
-x = -tfracx'-y'raiz2. Logo a cônica em (x',y') é
2,y'^2 ;-;x'raiz2;+;y'raiz2 ;=;0,
que de fato não tem termo misto e é uma parábola.

Resposta

A cônica é uma parábola e o ângulo de rotação é theta = pi4 ( 45circ).

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