Considere a cônica
a x^2+b x y+c y^2+d x+e y+f=0
com b neq 0. Seja 0^circ<theta<90^circ. A transformação linear A: R^2 R^2, dada por
A(x^prime, y^prime)=(x^prime cos theta-y^prime sen theta, x^prime sen theta+y^prime cos theta)=(x, y)
corresponde com uma rotação de ângulo theta entre os sistemas (x^prime, y^prime) e (x, y).
Determine theta na equação b^prime=0, quando a neq c.

Passo 1

O enunciado dá a cônica
a x^2+b x y+c y^2+d x+e y+f=0
e a rotação de coordenadas
x = x'costheta - y'sintheta, y = x'sintheta + y'costheta
com 0^circ<theta<90^circ. Queremos escolher theta de modo a anular o termo misto x'y' na forma transformada da parte quadrática, isto é, fazer b'=0.

Passo 2

Substituindo
x = x'costheta - y'sintheta, y = x'sintheta + y'costheta
em
a x^2 + b x y + c y^2
e expandindo, o coeficiente do termo x'y' resulta em
b' = (c - a),sin2theta ;+; b,cos2theta

Passo 3

Para eliminar o termo misto impomos
(c-a),sin2theta + b,cos2theta = 0
Dividindo por cos2theta e isolando, obtemos
tan2theta = b,a - c,

Passo 4

Logo a rotação que zera o coeficiente misto é
theta = 12,arctan!l(b,a - c,r),
com 0^circ<theta<90^circ.

Resposta

theta = 12,arctan!l(b,a - c,r)

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