Use diagonalização para colocar a cônica num novo sistema
, sem o termo misto
. Identifique a cônica e determine o ângulo de rotação entre os sistemas
e
.
.
Passo 1
O enunciado pede para eliminar o termo misto
da cônica
fazendo uma rotação de eixos. O conteúdo aqui é diagonalização de forma quadrática: vamos montar a matriz simétrica associada, calcular seus autovalores e autovetores, obter o ângulo de rotação que zera o termo misto e escrever a equação no sistema
.
Passo 2
Escrevemos a forma quadrática em termos da matriz
pois
Passo 3
Calculamos os autovalores
de
pela equação característica
As raízes são
logo
Passo 4
O ângulo de rotação
que zera o termo misto satisfaz
Logo
Passo 5
No novo sistema
a matriz . A equação vira
Multiplicando tudo por
e isolando em forma canónica:
Passo 6
Como os autovalores são ambos positivos, a cônica é uma elipse. No sistema
não há termo misto e temos semi-eixos de comprimento
(eixo em
) e
(eixo em
). O ângulo de rotação é
.
Resposta
Equação no sistema
:
é uma elipse. O ângulo de rotação é