Use diagonalização para colocar a cônica num novo sistema (x^prime, y^prime), sem o termo misto x y. Identifique a cônica e determine o ângulo de rotação entre os sistemas (x, y) e (x^prime, y^prime).
5 x^2+3 x y+y^2-4=0.

Passo 1

O enunciado pede para eliminar o termo misto xy da cônica
5x^2+3xy+y^2-4=0
fazendo uma rotação de eixos. O conteúdo aqui é diagonalização de forma quadrática: vamos montar a matriz simétrica associada, calcular seus autovalores e autovetores, obter o ângulo de rotação que zera o termo misto e escrever a equação no sistema (x',y').

Passo 2

Escrevemos a forma quadrática em termos da matriz
pois

Passo 3

Calculamos os autovalores lambda de A pela equação característica
det(A - lambda I) = (5-lambda)(1-lambda) - l(tfrac32r)^2 = lambda^2 -6lambda +2,75 = 0
As raízes são
lambda1,2 = 6 pm raiz36 - 112 = 6 pm 52,
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lambda1 = tfrac112, lambda2 = tfrac12

Passo 4

O ângulo de rotação varphi que zera o termo misto satisfaz
tan(2varphi) = 2A12A11-A22 = 35-1 = 34
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2varphi = arctan!l(tfrac34r) Longrightarrow varphi = tfrac12,arctan!l(tfrac34r) = arctan!l(tfrac13r) approx 18,435^circ

Passo 5

No novo sistema
a matriz . A equação vira
Multiplicando tudo por e isolando em forma canónica:

Passo 6

Como os autovalores são ambos positivos, a cônica é uma elipse. No sistema (x',y') não há termo misto e temos semi-eixos de comprimento raiz8/11 (eixo em x') e raiz8 (eixo em y'). O ângulo de rotação é varphi = arctan(tfrac13).

Resposta

Equação no sistema (x',y'):
x'^2tfrac811 + y'^28 = 1,
é uma elipse. O ângulo de rotação é
varphi = arctan!l(tfrac13r)approx 18,435^circ

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