Use diagonalização para colocar a cônica num novo sistema
, sem o termo misto
. Identifique a cônica e determine o ângulo de rotação entre os sistemas
e
.
.
Passo 1
O enunciado dá a cônica
e pede que façamos uma rotação de eixos para eliminar o termo misto
, identificar o tipo de cônica e achar o ângulo de rotação. Vamos usar a diagonalização da forma quadrática associada.
Passo 2
Escrevemos a parte quadrática em forma matricial
e os termos lineares em vetor
, com constante
.]
Passo 3
Determinamos os autovalores de
resolvendo
]
Passo 4
Para
resolvemos
, o que leva a vetor próprio
.
Para resolvemos
, obtendo
.
Esses vetores são ortogonais e formam colunas de uma matriz de rotação.
Para
Esses vetores são ortogonais e formam colunas de uma matriz de rotação.
Passo 5
O ângulo de rotação
entre o eixo
e o autovetor
satisfaz
isto é
Passo 6
Definimos a rotação
com
,
. Substituindo na equação original e agrupando, verifica-se que o termo
some e obtemos
Passo 7
Nos termos quadráticos temos coeficientes de sinais opostos (
e
), logo a cônica é uma hipérbole.
Resposta
A cônica é uma hipérbole.
No sistema girado a equação fica
No sistema girado
e o ângulo de rotação satisfaz