Use diagonalização para colocar a cônica num novo sistema (x^prime, y^prime), sem o termo misto x y. Identifique a cônica e determine o ângulo de rotação entre os sistemas (x, y) e (x^prime, y^prime).
6 x^2+24 x y-1 y^2-12 x+26 y+11=0.

Passo 1

O enunciado dá a cônica
6x^2+24xy - y^2 -12x +26y +11 = 0
e pede que façamos uma rotação de eixos para eliminar o termo misto xy, identificar o tipo de cônica e achar o ângulo de rotação. Vamos usar a diagonalização da forma quadrática associada.

Passo 2

Escrevemos a parte quadrática em forma matricial
e os termos lineares em vetor , com constante .]

Passo 3

Determinamos os autovalores de M resolvendo
det(M - lambda I)=0 ;Longrightarrow; det6-lambda & 12[3pt]12 & -1-lambda=0
(6-lambda)(-1-lambda)-144 = 0 ;Longrightarrow; lambda^2-5lambda-150=0 ;Longrightarrow; lambda1=15, lambda2=-10
]

Passo 4

Para lambda1=15 resolvemos (M-15I)v=0, o que leva a vetor próprio v1=(4,3).
Para lambda2=-10 resolvemos (M+10I)v=0, obtendo v2=(3,-4).
Esses vetores são ortogonais e formam colunas de uma matriz de rotação.

Passo 5

O ângulo de rotação theta entre o eixo x e o autovetor v1=(4,3) satisfaz
costheta = 45, sintheta = 35,
isto é
theta = arctan!l(tfrac34r) ou theta = tfrac12arctan!l(tfrac247r)

Passo 6

Definimos a rotação
x = x'costheta - y'sintheta, y = x'sintheta + y'costheta
com costheta=4/5, sintheta=3/5. Substituindo na equação original e agrupando, verifica-se que o termo x'y' some e obtemos
15x'^2;-;10y'^2 ;+;6,x' ;+;28,y' ;+;11 ;=;0

Passo 7

Nos termos quadráticos temos coeficientes de sinais opostos ( 15 e -10), logo a cônica é uma hipérbole.

Resposta

A cônica é uma hipérbole.
No sistema girado (x',y') a equação fica
15x'^2-10y'^2+6x'+28y'+11=0,
e o ângulo de rotação satisfaz
theta=arctan!l(tfrac34r) l(ie tan2theta=tfrac247r)

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