(2.5) Considere os pontos A=(1,2,-1), B=(2,4,2) e C=(-1,1,3). Determine a área do paralelogr definido pelos vértices A, B e C. Estes pontos são colineares?

Passo 1

Temos três pontos em \mathbb{R}^3: A=(1,2,-1), B=(2,4,2) e C=(-1,1,3).
Queremos (a) a área do paralelogramo determinado pelos vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} e (b) verificar se A, B e C são colineares. Para isso usaremos o produto vetorial e seu módulo.

Passo 2

Primeiro calculamos os vetores
\overrightarrow{AB} = B - A = (2-1,\;4-2,\;2-(-1)) = (1,2,3),
\overrightarrow{AC} = C - A = (-1-1,\;1-2,\;3-(-1)) = (-2,-1,4).

Passo 3

Agora obtemos o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} pelo determinante:
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 2 & 3 \\\\ -2 & -1 & 4 \end{vmatrix} =(11,\,-10,\,3).

Passo 4

A área do paralelogramo é o módulo desse vetor:
\bigl\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\bigr\| =\sqrt{11^2 + (-10)^2 + 3^2} =\sqrt{121 + 100 + 9} =\sqrt{230}.

Passo 5

Os pontos são colineares se e somente se \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(0,0,0).
Como aqui (11,-10,3)\neq(0,0,0), concluímos que A, B e C não são colineares.

Resposta

A área do paralelogramo é \sqrt{230}, e os pontos não são colineares.

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