(2.5) Considere as retas r : \left\{\begin{array}{r}x=-3 t-4 \\\ y=2 t+1 \\\ z=t\end{array}\right. e s : \frac{x-3}{2}=y-1=-z-3.
(a) Calcule a distância entre as retas e determine a posição relativa entre elas.
(b) Se as retas se intersectam no P, escreva uma equaçõs vetorial da reta q que passa por P e a orige

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço:
r é dada pelo sistema paramétrico
\begin{cases} x = -3t - 4,\\\ y = 2t + 1,\\\ z = t \end{cases}
e s é dada por
\frac{x-3}{2} \;=\; y-1 \;=\; -z-3.
Queremos (a) a distância entre r e s e sua posição relativa; (b) caso se intersectem num ponto P, achar a equação vetorial da reta q que passa por P e pela origem.

Passo 2

Identificamos um ponto e o vetor diretor de cada reta.
Para r, escolhemos t=0 para obter o ponto
A =(-4,\,1,\,0),
e o vetor diretor é
\mathbf{u}=(-3,\,2,\,1).
Para s, tomamos o parâmetro \lambda tal que
\lambda=\frac{x-3}{2}=y-1=-z-3.
Então
x=2\lambda+3,\quad y=\lambda+1,\quad -z-3=\lambda\;\Rightarrow\;z=-\lambda-3,
logo um ponto é
B=(3,\,1,\,-3)
e o vetor diretor é
\mathbf{v}=(2,\,1,\,-1).

Passo 3

Para ver se as retas são paralelas ou não, e calcular a distância, precisamos do vetor normal ao par de direções, dado por \mathbf{u}\times\mathbf{v}.
\mathbf{u}\times\mathbf{v} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ -3&2&1\\\\ 2&1&-1 \end{vmatrix} =\bigl(2\cdot(-1)-1\cdot1,\,-\bigl(-3\cdot(-1)-1\cdot2\bigr),\,-3\cdot1-2\cdot2\bigr) =(-3,\,-1,\,-7).

Passo 4

A distância entre retas skew ou secantes é
d =\frac{\bigl|(B-A)\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\bigr|}{\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|}.
Aqui B-A=(7,\,0,\,-3). Então
(B-A)\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v}) =(7,0,-3)\cdot(-3,-1,-7) =-21+0+21=0.
Como o numerador é zero e \mathbf{u}\times\mathbf{v}\neq\mathbf{0}, conclui-se que d=0 e as retas não são paralelas, logo elas se intersectam.

Passo 5

Para encontrar o ponto de interseção P, igualamos coordenadas de r e s.
De r: (x,y,z)=(-3t-4,\,2t+1,\,t).
De s: (x,y,z)=(2\lambda+3,\,\lambda+1,\,-\lambda-3).
Igualando em x e y:
-3t-4=2\lambda+3,\quad 2t+1=\lambda+1.
Da segunda vem \lambda=2t. Substituindo na primeira:
-3t-4=2(2t)+3\;\Rightarrow\;-3t-4=4t+3\;\Rightarrow\;7t=-7\;\Rightarrow\;t=-1,\;\lambda=-2.
Então
P=(-3(-1)-4,\;2(-1)+1,\;-1)=(-1,\,-1,\,-1).

Passo 6

A reta q deve passar por P=(-1,-1,-1) e pela origem O=(0,0,0). O vetor direção é \overrightarrow{OP}=(-1,-1,-1). Logo uma equação vetorial de q é
\mathbf{r}_q(s) =(0,0,0)+s\,(-1,-1,-1) \quad\Longleftrightarrow\quad (x,y,z)=(-s,\,-s,\,-s).

Resposta

(a) A distância é 0, logo as retas se intersectam.
(b) Se P=(-1,-1,-1) é o ponto de interseção, a reta q que passa por P e pela origem tem equação vetorial
\mathbf{r}_q(s)=(0,0,0)+s\,(-1,-1,-1).

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