(2.5) Considere as retas r : \left\{\begin{array}{r}x=-3 t-4 \\\ y=2 t+1 \\\ z=t\end{array}\right. e s : \frac{x-3}{2}=y-1=-z-3.
(a) Calcule a distância entre as retas e determine a posição relativa entre elas.
(b) Se as retas se intersectam no P, escreva uma equaçõs vetorial da reta q que passa por P e a orige
Passo 1
O enunciado dá duas retas no espaço:
r é dada pelo sistema paramétrico
\begin{cases} x = -3t - 4,\\\ y = 2t + 1,\\\ z = t \end{cases}
e s é dada por
\frac{x-3}{2} \;=\; y-1 \;=\; -z-3.
Queremos (a) a distância entre r e s e sua posição relativa; (b) caso se intersectem num ponto P, achar a equação vetorial da reta q que passa por P e pela origem.
Passo 2
Identificamos um ponto e o vetor diretor de cada reta.
Para r, escolhemos t=0 para obter o ponto
Como o numerador é zero e \mathbf{u}\times\mathbf{v}\neq\mathbf{0}, conclui-se que d=0 e as retas não são paralelas, logo elas se intersectam.
Passo 5
Para encontrar o ponto de interseção P, igualamos coordenadas de r e s.
De r: (x,y,z)=(-3t-4,\,2t+1,\,t).
De s: (x,y,z)=(2\lambda+3,\,\lambda+1,\,-\lambda-3).
Igualando em x e y:
-3t-4=2\lambda+3,\quad 2t+1=\lambda+1.
Da segunda vem \lambda=2t. Substituindo na primeira:
(a) A distância é 0, logo as retas se intersectam.
(b) Se P=(-1,-1,-1) é o ponto de interseção, a reta q que passa por P e pela origem tem equação vetorial